Question

Determine o valor da integral ∫ s e n 3 t . c o s t d t

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int \sin(3t)\cdot\cos(t)\,dt$

Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Lembre-se da fórmula da soma de arcos para a função seno: $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)$.

De acordo com esta propriedade, facilmente encontramos $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$.

Utilizando este resultado e conhecendo a identidade fundamental da trigonometria $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, teremos: $\sin(3t)=3\sin(t)-4\sin^3(t)$.

Dessa forma, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int(3\sin(t)-4\sin^3(t))\cdot\cos(t)\,dt$

Então, faça uma substituição $u=\sin(t)$. Diferenciamos ambos os lados da expressão em respeito a $t$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(\sin(t))'$

Sabendo que a derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ e a derivada da função seno é a função cosseno, teremos:

$\dfrac{du}{dt}=\cos(t)$.

Multiplique ambos os lados da equação por $dt$

$du=\cos(t)\,dt$

Observe que este termo já faz parte da integral. Dessa forma, teremos:

$\displaystyle{\int (3u-4u^3)\cdot du}\\\\\\ \int 3u-4u^3\,du$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções e a integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

Aplique também a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.

$\displaystyle{3\cdot\int u\,du-4\cdot\int u^3\,du}\\\\\\\ 3\cdot \left(\dfrac{u^2}{2}+C_1\right)-4\cdot\left(\dfrac{u^4}{4}+C_2\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{3u^2}{2}+3C_1-u^4-4C_2$

Considere $3C_1-4C_2=C$ e desfaça a substituição $u=\sin(t)$

$\dfrac{3\sin^2(t)}{2}-\sin^4(t)+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Resposta:   $\displaystyle\int \mathrm{sen}(3t)\cos(t)\,dt=-\,\dfrac{1}{8}\cos(4t)-\dfrac{1}{4}\cos(2t)+C.$

Explicação passo a passo:

Para esta tarefa, utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica:

(Transformação de produto em soma)

     $\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(\alpha+\beta)+\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(\alpha-\beta)$

Para $\alpha=3t$ e $\beta=t,$ a integral fica

     $\begin{array}{l} \displaystyle\int \mathrm{sen}(3t)\cos(t)\, dt=\int\left[\frac{1}{2}\,\mathrm{sen}(3t+t)+\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(3t-t)\right]\!dt\\\\ \displaystyle=\frac{1}{2}\int \mathrm{sen}(4t)\,dt+\frac{1}{2}\int\mathrm{sen}(2t)\,dt\end{array}$

Sabendo que

     $\displaystyle\int \mathrm{sen}(nt)\,dt=-\,\frac{1}{n}\cos(nt),\quad\mathrm{para~}n\ne 0,$

o resultado da integral fica

     $\begin{array}{l}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[-\,\dfrac{1}{4}\cos(4t)\right]+\dfrac{1}{2}\cdot \left[-\,\dfrac{1}{2}\cos(2t)\right]+C\\\\ =-\,\dfrac{1}{8}\cos(4t)-\dfrac{1}{4}\cos(2t)+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

Bons estudos! :-)