Question

Determine o valor da função:
y=(tg4π/3+cotg7π/6)²/3

Answer 1

Resposta:

y = 4

Explicação passo-a-passo:

Podemos notar que a função inteira está em radianos. Podemos transformar tudo para graus para facilitar o nosso cálculo. Podemos fazer isso fazendo uma regra de 3 simples. Se analisarmos o ciclo trigonométrico, iremos perceber que π/2 equivale a 90°. Então, podemos dizer:

                                        π/2 ------------ 90°

Utilizaremos esta relação para transformar de radiano para graus. Fazendo isso com os arcos 4π/3 e 7π/6, temos:

                                          π/2 ------------- 90°

                                         4π/3 ------------ x

Logo, x = 240°

Fazendo o mesmo para o arco 7π/6, temos:

                          π/2 ------------- 90°

                         7π/6 -------------  x

Logo, x = 210°

Sendo assim, podemos reescrever a função da seguinte forma:

                              y = (tg240° + cotg210°)²/3

Olhando para os arcos obtidos, percebemos que ambos estão no terceiro quadrante, então devemos reduzir eles ao primeiro quadrante. Se pararmos para analisar o Ciclo trigonométrico, iremos perceber que o arco 240° reduzido ao primeiro quadrante corresponde ao arco 60°, e o arco 210° reduzido ao primeiro quadrante, corresponde ao arco de 30°. Sendo assim, ambos terão valores semelhantes com relação as funções trigonométricas. Devemos ficar atentos se a função trigonométrica desejada é positiva ou negativa no quadrante em que ela se encontra.

No caso, temos as funções trigonométricas tangente e cotangente. A tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrante, e o arco 240° se encontra no terceiro quadrante, então tg240° = tg60°.

A função cotangente é igual ao inverso da função tangente, ou seja, temos:

                                  cotgx = 1/tgx

Então, temos:

                             cotg210° = 1/tg210°

Como vimos, a função tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrante, e o arco 210° se encontra no terceiro quadrante. Vimos também que se reduzirmos o arco 210° ao primeiro quadrante, encontraremos o arco 30° como seu equivalente. Logo, podemos deduzir que:

                                         cotg210° = 1/tg30°

Sendo assim, podemos reescrever a função da forma abaixo:

                                  y= (tg60° + 1/tg30°)²/3

Resolvendo a função, temos:

                           y = (√3 + 1/√3/3)²/3

                           y = (2√3)²/3

                           y = 4

Logo, o resultado é y = 4.