Question

determine o valor da expressão trigonometrica arc sen √2/2 - arc cos ½ + arc tg √3

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para determinarmos o valor da expressão

$\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan(\sqrt{3})$

Devemos relembrar algumas propriedades sobre as funções trigonométricas inversas e a tabela de ângulos notáveis.

Observe a imagem: esta é a tabela de ângulos notáveis como a conhecemos no ensino médio.

A partir disso, dado o seno, cosseno ou tangente de um arco:

$\sin(\alpha)=x\\\\\\ \cos(\beta)=y\\\\\\ \tan(\gamma)=z$

Podemos reescrever isto como:

$\alpha=\arcsin(x)\\\\\\ \beta=\arccos(y)\\\\\\ \gamma=\arctan(z)$, tal que $\alpha,~\beta$ e $\gamma$ estão em radianos.

Observe que estas funções estão limitadas a um intervalo, logo valores que não pertencem a este intervalo respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.

Então, como vimos na tabela, $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ e $\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$, teremos:

$\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{4}\\\\\\ \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}\\\\\\ \arctan(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3}$

Substituindo estes valores na expressão, temos:

$\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}$

Somando os valores

$\dfrac{\pi}{4}$

Este é o valor da nossa expressão.

Answer 2

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$\sf arc~sen\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=\theta\implies sen(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\implies \theta=\dfrac{\pi}{4}\\\sf arc~cos\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)=\alpha\implies cos(\alpha)=\dfrac{1}{2}\implies \alpha=\dfrac{\pi}{6}\\\sf\\\sf arc~tg(\sqrt{3})=\beta\implies tg(\beta)=\sqrt{3}\implies \beta=\dfrac{\pi}{6}\\\sf arc~sen\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)-arc~cos\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)+arc~tg(\sqrt{3})=\theta-\alpha+\beta\\\sf =\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi-2\pi+2\pi}{12}$

$\sf=\dfrac{3\pi\div3}{12\div3}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf arc~sen\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)-arc~cos\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)+arc~tg(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{4}}}}}\blue{\checkmark}$