Question

Determine o valor da expressão: (tg 10° + cotg 10°). sen 20°

Answer 1

Primeiramente para esta questão é importante lembrar de algumas propriedades como:

tg x = sen x / cos x

cotg x = cos x / sen x

Sabendo disso, podemos substituir os valores. Sendo,

( tg 10° + cotg 10° ) . sen 20° = y, temos:

y = ( sen 10° / cos 10° + cos 10° / sen 10° ) . sen ( 2 . 10° )

Fazendo o MMC, temos:

y = ( sen² 10 + cos² 10° / cos 10° . sen 10° ) . sen ( 2 . 10° )

Pelas identidades trigonométricas, temos que:

sen² x + cos² x = 1

Logo, podemos substituir em y.

y = 1 / cos 10° . sen 10° . sen ( 2 . 10° )

Pelas propriedades de adição e subtração sabemos que:

sen ( 2 . x ) = 2sen x . cos x

Substituindo em y, temos:

y = 1 / cos 10° . sen 10° . 2sen 10° . cos 10°

Simplificando, temos:

y = 2

Answer 2

$\boxed{\begin{array}{l}\sf (tg(10^\circ)+cotg( 10^\circ))\cdot sen(20^\circ)\\\sf\bigg(\dfrac{sen(10^\circ)}{cos(10^\circ)}+\dfrac{cos(10^\circ)}{sen(10^\circ)}\bigg)\cdot sen(2\cdot10^\circ)\\\\\sf\bigg(\dfrac{sen^2(10^\circ)+cos^2(10^\circ)}{sen(10^\circ)\cdot cos(10^\circ)}\bigg) \cdot sen(2\cdot10^\circ)\\\\\sf lembre-se\,que\\\sf sen^2x+cos^2(x)=1~e~sen(2x)=2\cdot sen(x)\cdot cos(x).\\\sf sen^2(10^\circ)+cos^2(10^\circ)=1\\\sf sen(2\cdot10^\circ)=2\cdot sen(10^\circ)\cdot cos(10^\circ)\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf\bigg(\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!sen(10^\circ)\cdot \diagup\!\!\!\!\!cos(10^\circ)}\bigg)\cdot 2\cdot \diagup\!\!\!\!\!sen(10^\circ)\cdot \diagup\!\!\!\!cos(10^\circ)=2\end{array}}$