Question

Determine o valor da expressão, sabendo que sen X = 4/5 e que X pertence ao 1º quadrante.

Expressão: $\frac{tg \\ x}{1+tg ^{2} x}$

Se puderem explicar um pouco passo a passo também, seria bom! Obrigado!

Answer 1

Utilizando a Relação Trigonométrica Fundamental, vamos encontrar o valor do cosseno de $x$:

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \cos^{2}x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \cos^{2}x=1-\left(\dfrac{4}{5} \right )^{2}\\ \\ \cos^{2}x=1-\dfrac{16}{25}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{25-16}{25}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{9}{25}\\ \\ \cos x= \pm \sqrt{\dfrac{9}{25}}\\ \\ \cos x= \pm \dfrac{3}{5}$


Como $x$ é um arco do primeiro quadrante, o seu cosseno é positivo. Logo,

$\cos x=\dfrac{3}{5}$


Agora, vamos simplificar a expressão dada:

$\dfrac{\mathrm{tg\,}x}{1+\mathrm{tg^{2}\,}x}$


Sabendo que

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}$

podemos substituir a tangente na expressão, e chegamos a

$=\dfrac{\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{1+\left(\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right )^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{1+\frac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2} x}}$


Multiplicando o numerador e o denominador por $\cos^{2} x$, (pode-se fazer isso porque já sabemos que o cosseno de $x$ é diferente de zero)

$=\dfrac{\cos^{2}x \cdot \frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{\cos^{2}x \cdot \left(1+\frac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2} x} \right )}\\ \\ \\ =\dfrac{\cos x\cdot \mathrm{sen\,}x}{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x}$


De acordo com a Relação Trigonométrica Fundamental, o denominador da expressão acima é igual a $1$. Sendo assim, chegamos a

$=\dfrac{\cos x\cdot \mathrm{sen\,}x}{1}\\ \\ =\cos x \cdot \mathrm{sen\,}x\\ \\ =\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\\ \\ =\dfrac{12}{25}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} \dfrac{\mathrm{tg\,}x}{1+\mathrm{tg^{2}\,}x}=\dfrac{12}{25} \end{array} }$