Question

Determine o valor da expressão: log₂ (m².n⁴) se:

a) m=2 e n=4
b) m= 1/2 e n=1
c) m=1 e n=√2
d) m=0,2 n=0,5

Answer 1

Usando a propriedade da soma de logs:
㏒2 (m²*n⁴) = ㏒2 m²+ ㏒2 n⁴
Usando a propriedade do expoente:
㏒2 m²=2* ㏒2 m e ㏒2 n⁴=4*㏒2 n
Então vamos usar a fórmula 2* ㏒2 m+ 4*㏒2 n 
Eu também farei substituindo direito as incógnitas na 2ª fórmula:

a) 2*㏒2 2 + 4*㏒2 4
Mas ㏒2 2=1 e ㏒2 4=2, logo:
2*1+4*2 = 2+8=10
Na 2ª fórmula:
㏒2 (2²*4⁴)= ㏒2 (4*256) = ㏒2 1024 =10, pois
$2^{10} = 1024$
a)10;

b) 2* ㏒2 1/2+ 4*㏒2 1
2* (㏒2 1 - ㏒2) + 4*㏒2 1 (㏒x 1=0)
2*0 - 2*1 +4*0 = -2
Na 2º fórmula:
㏒2 (1/2²*1⁴)= ㏒2 (1/4*1) =
㏒2 1/4 =-2, pois
$2^{-2} = 1/4$
b)-2;

c)2* ㏒2 1+ 4*㏒2 √2 (lembrando que √2 = $2^{1/2}$ e que           ㏒x 1=0)
2*0 +4*㏒2 $2^{1/2}$ (usando a propriedade do expoente):
0+1/2*4*㏒2 2=
2*㏒2 2= 2*1=2
Na 2º fórmula:
㏒2 (1²*√2⁴) (lembrando que √2⁴=2²=4)
㏒2  (1*4) = ㏒2 4 = 2, pois
$2^{2} = 4$
c)2;

d)Utilizando a calculadora: ㏒2 10≈3,3...
2* ㏒2 0,2+ 4*㏒2 0,5 =
2* ㏒2 2/10+ 4*㏒2 2/4 =
2* (㏒2 2 - ㏒2 10)+ 4* (㏒2 2 - ㏒2 4)=
2*(1 - 3,3) +4*(1-2) =
2*-2,3+4*-1=
-4,6-4=-8,6
Utilizando a calculadora: ㏒2 400≈8,6
Na 2º fórmula:
㏒2 (0,2²*0,5⁴) = ㏒2(0,04*0,0625)=0,0025=
㏒2 0,0025 = ㏒2 1/400 = ㏒2 1 - log2 400 = 0 -8,6=
d)-8,6 (fica meio difícil aplicar a definição de logaritmo aqui)

Acho que é isso...

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para determinar o valor da expressão logarítmica abaixo, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = log₂ (m² * n⁴) para os seguintes valores de "m" e "n".

a) Para m = 2; e n = 4 . ----- Fazendo as devidas substituições, temos:

y = log₂ (2² * 4⁴) ---- note que 4 = 2². Assim:
y = log₂ (2² * (2²)⁴ ----- veja que (2²)⁴ = 2²*⁴ = 2⁸ . Assim:
y = log₂ (2² * 2⁸) ----- veja que 2² * 2⁸ = 2²⁺⁸ = 2¹⁰ . Assim:
y = log₂ (2¹⁰) ---- passando o expoente multiplicando, temos:
y = 10log₂ (2) ------ como log₂ (2) = 1, teremos:
y = 10*1
y = 10 <---- Este é o valor de log₂ (m²*n⁴), para m = 2. e n = 4.

b) Para m = 1/2; e n = 1------- fazendo as devidas substituições, temos:

y = log₂ [(1/2)² * 1⁴] -------- note que (1/2) = 2⁻¹ e 1⁴ = 1. Assim:
y = log₂ [(2⁻¹)² * 1] ------ note que (2⁻¹)² = 2⁻² e: 2⁻²*1 = 2⁻². Assim:
y = log₂ (2⁻²) ----- passando o expoente multiplicando, temos:
y = -2log₂ (2) ------ como log₂ (2) = 1, teremos;
y = -2*1
y = - 2 <---- Este é o valor de log₂ (m²*n⁴), para m = 1/2 e n = 1.

c) Para m = 1 e n = √2. ----- Fazendo as devidas substituições, temos:

y = log₂ [1² * √(2)⁴]  ------ como 1² = 1, então
y = log₂ [1*√(2)⁴] ---- como 1*√(2)⁴ = √(2)⁴, ficaremos apenas com
y = log₂ [√(2)⁴] ----- note que √(2) = (2¹/²). Assim:
y = log₂ [(2¹/²)⁴] ---- veja que (2¹/²)⁴ = 2⁴/² = 2². Assim:
y = log₂ (2²) ----- passando o expoente multiplicando, temos:
y = 2log₂ (2) ----- como log₂ (2) = 1, teremos:
y = 2*1
y = 2 <---- Este é o valor de log₂ (m²*n⁴), para m = 1 e n = √2

d) Para m = 0,2 e n = 0,5. Assim:

y = log₂ [(0,2)² * (0,5)⁴] ----- veja que (0,2)² = 0,04; e (0,5)⁴ = 0,0625. Logo:
y = log₂ (0,04*0,0625) ----- note que 0,04*0,0625 = 0,0025. Logo:
y = log₂ (0,0025) ----- note que 0,0025 = 25/10.000 = (1/400). Assim:
y = log₂ (1/400) ----- note que 1/400 = 400⁻¹ . Logo:
y = log₂ (400⁻¹) ---- passando o expoente multiplicando, temos;
y = -1log₂ (400) --- ou apenas:
y = - log₂ (400) ----- como 400 = 2⁴*5², teremos:
y = - log₂ (2⁴*5²) ---- transformando o produto em soma, teremos:
y = - [log₂ (2⁴) + log₂ (5²)] ---- passando os expoentes multiplicando:
y = - [4log₂ (2) + 2log₂ (5)] ---- como log₂ (2) = 1, teremos:
y = - [4*1 + 2log₂ (5)] --- ou apenas:
y = - [4 + 2log₂ (5)] <---- Este é o valor de log₂ (m²*n⁴), para m = 0,2; e n = 0,5.

Se você quiser uma resposta apenas aproximada, então basta saber que log₂ (5) = 2,321 (aproximadamente). Assim, se fizer a substituição acima, teremos;

y = - [4 + 2*2,321] ----- como 2*2,321 = 4,642 , teremos:
y = - [4 + 4,462]
y = - [8,642] ---- retirando-se os colchetes, teremos:
y = - 8,642 <--- Esta é uma resposta aproximada da questão deste item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.