Question

Determine o valor da expressão acima quando A = 2014 e N = 1000. ​

Answer 1

Resposta:

d) 2001/2

Explicação passo-a-passo:

Você tem que observar o seguinte:

$\dfrac{1}{a^{-n} + 1} = \dfrac{1}{\dfrac 1{a^n} + 1} = \dfrac{1}{\dfrac{1+ a^n}{a^n}} = \dfrac{a^n}{a^n + 1}$

Logo:

$\dfrac{1}{a^{-n} + 1} + \dfrac 1{a^n+ 1} = \dfrac{a^n}{a^n + 1} + \dfrac 1{a^n + 1} = \dfrac{a^n + 1}{a^n + 1} = 1$

Com isso reorganizando a soma temos:

$\dfrac{1}{a^{-n} + 1} + \dfrac{1}{a^{-(n - 1)}+ 1} +\cdots + \dfrac 1{a^0 + 1} + \cdots + \dfrac{1}{a^{n-1} + 1} + \dfrac{1}{a^{n}+ 1} = \\[2ex]\left [ \dfrac{1}{a^{-n} + 1} + \dfrac{1}{a^n + 1} \right] + \cdots + \left [ \dfrac{1}{a^{-1} + 1} + \dfrac{1}{a^1 + 1} \right] + \dfrac{1}{a^0 + 1}$

Como vimos acima, cada uma das expressões dentro dos colchetes vale 1. Como temos exatamente n delas ficará:

$\underbrace{1 + ... + 1}_{n \textrm{ vezes}} + \dfrac{1}{a^0 + 1} = n + \dfrac 12 = \dfrac{2n + 1}{2}$

Ou seja, para n  = 1000 e a = 2014 (na verdade o valor de a não faz diferença) a soma será 2001/2

Obs.: eu fui um pouco conciso, se não estiver claro pode perguntar.