Question

Determine o valor da expressão:​

Answer 1

✅ O resultado da expressão numérica dada é $\rm 3$

 

⁉️ O que é um número elevado a meio [ ½ ]? Generalizando, o que é um número elevado a um expoente fracionário? Parece intrigante, no entanto é uma jogada numérica muito importante. Vamos descobrir na prática! ☺

 

☁️ Irei partir da noção comum do produto de potências de mesmaa base. Intuitivamente, podemos demonstrar sem muitas regalias, somente expandindo

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \alpha^n \cdot \alpha^m &=\rm \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm n ~ vezes} \cdot \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm m~vezes} \\\\\rm &=\rm \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm n+m ~ vezes} \\\\&=\rm \alpha^{n+m} \end{aligned} \end{array}$

Ou seja, mantemos a base e somamos os expoentes.

 

☁️ Sabendo disso, podemos deduzir a propriedade do expoente fracionário apenas fazendo um caso à parte, observe

$\large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2 + ^1\!\!/\!_2} = \alpha^1 = \alpha \end{array}$

⚠️ Olha que interessante, um número elevado a meio multiplicado por outro número elevado a meio dá o próprio número, ao ver que isso era recorrente, introduziram uma notação, um símbolo

$\large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2 + ^1\!\!/\!_2} = \alpha \\\\\rm \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\alpha} = \alpha \end{array}$

 

☁️ Portanto, esse número elevado a meio é por definição chamado de raíz quadrada: [Def.] “A raíz quadrada de um número $\rm \alpha$ positivo, denota-se $\rm \sqrt{\alpha}$, é um número $\rm \beta$ que multiplicado por si próprio resulta em $\rm \alpha$.”

 

ℹ️₁ Por processos semelhantes, essa ideia pode ser expandida para mais dimensões, fica como curiosidade a dimensão 3:

$\large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_3} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_3} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_3} = \alpha^{^1\!\!/\!_3 + ^1\!\!/\!_3 + ^1\!\!/\!_3 } = \alpha \\\\\rm \sqrt[3]{\alpha} \cdot \sqrt[3]{\alpha} \cdot \sqrt[3]{\alpha} = \alpha \end{array}$

 

ℹ️₂ Considerações tomadas mediante a definição de raiz:

$\large\begin{array}{lr}\rm \\\\\rm \\\\\rm \\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:}}}\end{array}$

 

✍️ Resolvendo a expressão:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \left[ 27^{^1\!\!/\!_3} + 64^{^1\!\!/\!_2} - 8^{^2\!\!/\!_3} + 4^{^1\!\!/\!_2} \right]^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \sqrt{\sqrt[3]{27} + \sqrt{64} - \sqrt[3]{8^2} + \sqrt{4} } \\\\&=\rm \sqrt{3 + 8 - \sqrt[3]{64} + 2} \\\\&=\rm \sqrt{3 + 8 - 4 + 2} \\\\&=\rm \sqrt{9} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \left[ 27^{^1\!\!/\!_3} + 64^{^1\!\!/\!_2} - 8^{^2\!\!/\!_3} + 4^{^1\!\!/\!_2} \right]^{^1\!\!/\!_2} = 3 }}}}\end{array}$

 

✔️ Esse é o resultado da expressão numérica.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre expressão numérica, definição de raiz:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$