Question

Determine o valor da diferença de potencial sobre o resistor de 1 Ω utilizando tanto

a análise nodal quanto a análise de malha​

Answer 1

Vamos considerar a massa do circuito no nó da parte "inferior" do circuito, como mostrado no desenho anexado à resolução.

Análise Nodal

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes, teremos que o somatório das correntes que entram em um nó é igual ao somatório das  correntes que saem deste nó.

Nó A:

$\sf 6~=~3~+~\dfrac{V_A-0}{4}~+\dfrac{V_A-V_B}{1}\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~4\\\\\\24~=~12~+~V_A~-~0~+~4V_A~-~4V_B\\\\\\\boxed{\sf 5V_A-4V_B~=~12}$

Nó B:

$\sf 5~=~6~+~\dfrac{V_B-0}{2}~+~\dfrac{V_B-V_A}{1}\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~2\\\\\\10~=~12~+~V_B~-~0~+~2V_B~-~2V_A\\\\\\\boxed{\sf 2V_A-3V_B~=~2}$

Somando-se a equação para o nó A multiplicada por 2 à equação do nó B multiplicada por (-5):

$\sf 2\cdot (5V_A-4V_B)~-~5\cdot (2V_A-3V_B)~=~2\cdot 12~-~5\cdot 2\\\\\\10V_A-8V_B~-~10V_A+15V_B~=~24-10\\\\\\7V_B~=~14\\\\\\\boxed{\sf V_B~=~2~V}$

Com isso, teremos a tensão no nó A igual a:

$\sf 2V_A~-~3V_B~=~2\\\\\\2V_A~-~3\cdot 2~=~2\\\\\\2V_A~=~2+6\\\\\\2V_A~=~8\\\\\\\boxed{\sf V_A~=~4~V}$

A ddp sobre o resistor de 1Ω será, portanto, igual a :

$\Delta V_{1\Omega}~=~V_A-V_B\\\\\\\Delta V_{1\Omega}~=~4-2\\\\\\\boxed{\Delta V_{1\Omega}~=~2~V}$

Analise de Malhas:

Utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões, teremos que o somatório das quedas/elevações de tensão nos elementos do circuito será nulo quando percorrermos um caminho fechado (malha).

Como vemos na figura anexada, adotamos sentido anti-horário para as 4 correntes que percorrem as 4 malhas simples contidas no circuito.

Note que dessas malhas, 3 possuem fontes de corrente "exclusivas", ou seja, fontes de corrente que pertencem apenas àquela malha.

Assim, as correntes de malha nessas 3 malhas serão iguais a corrente produzida pela fonte.

$\boxed{\begin{array}{ccc}i_1&=&6~A\\i_2&=&3~A\\i_4&=&5~A\end{array}}$

Perceba ainda que, seguindo o princípio da superposição, a corrente que passa pelos resistores será dada pela soma entre as correntes de malha, às quais o resistor "pertence".

$\boxed{\begin{array}{ccc}i_{4\Omega}&=&i_3-3\\i_{1\Omega}&=&i_3-6\\i_{2\Omega}&=&i_3-5\end{array}}$

Vamos então escrever a equação dessa malha:

$\sf -4\cdot (i_3-3)~-~1\cdot (i_3-6)~-~2\cdot (i_3-5)~=~0\\\\\\-4i_3+12~-~i_3+6~-~2i_3+10~=~0\\\\\\-7i_3~=~-28\\\\\\i_3~=~\dfrac{-28}{-7}\\\\\\\boxed{\sf i_3~=~4~A}$

A corrente que passa pelo resistor de 1Ω vale:

$\sf i_{1\Omega}~=~i_3-6\\\\\\i_{1\Omega}~=~4-6\\\\\\\boxed{\sf i_{1\Omega}~=\,-2~A}$

Obs.: O sinal da corrente apenas indica que a corrente flui no sentido contrário ao que foi adotado.

Por fim, podemos determinar a ddp no resistor de 1Ω:

$\sf \Delta V~=~R\cdot i\\\\\\\Delta V_{1\Omega}~=~1\cdot 2\\\\\\\boxed{\sf \Delta V_{1\Omega}~=~2~V}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$