Determine o valor aproximado de x da figura abaixo, sabendo que o valor da área dessa figura equivale ao valor da tangente de 45°(use V6 = 2,44).
Soluções para a tarefa
log 3x²/log 2x * log 2x/log 2 = 1
log 3x²/log 2 = 1
log 3x² = log 2
3x² = 2
x² = 2/3
x² = 6/9
x = √6 / √9
x = (2,44) / 3
x = 0,813 ✓
Vamos lá.
Veja, Augusto, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar o valor aproximado de "x" da figura que está anexada por foto, sabendo-se que o valor da área dessa figura equivale ao valor da tangente de 45º e, em seguida, é recomendado que se utilize "2,44 como o resultado de √6).
ii) Note que a figura é um retângulo, cujo comprimento e altura são dados, respectivamente, por:
log₂ₓ (3x²) e log₂ (2x) <--- Estes são os valores do comprimento e da altura, respectivamente.
iii) Agora veja: primeiro vamos trabalhar com a expressão que dá o comprimento, e que é esta: log₂ₓ (3x²). Como a altura está na base "2", então vamos passar o comprimento também para a base "2". Com isso, ficaremos assim:
log₂ₓ (3x²) = log₂ (3x²)/log₂ (2x).
Com isso, teremos que o comprimento do retângulo seria este (após transformarmos o comprimento para a base "2"):
log₂ (3x²)/log₂ 2x) <--- Esta é a forma de escrita do comprimento do retângulo, após passarmos a expressão original para a base "2".
iv) Agora veja que ficamos que o comprimento é "log₂ (3x²)/log₂ (2x)" e que a altura é a já dada, que é esta: log₂ (2x).
Como a área (A) de um retângulo é dada por comprimento vezes altura, então teremos que:
[log₂ (3x²)/log₂ (2x)]*log₂ (2x) = A ----- como a área é igual à tangente de 45º e como tangente de 45º é igual a "1", então teremos que:
[log₂ (3x²)/log₂ (2x)]*log₂ (2x) = 1 ----- desenvolvendo, teremos:
log₂ (3x²)*log₂ (2x) / log₂ (2x) = 1 ----- dividindo-se log₂ (2x) do numerador com log₂ (2x) do denominador, iremos ficar apenas com:
log₂ (3x²) = 1 ----- agora note que se aplicarmos a definição de logaritmo iremos ter que:
3x² = 2¹ ---- ou apenas:
3x² = 2 ----- isolando "x²", teremos:
x² = 2/3 ------ mas como foi dado que se considere "√(6) = 2,44", então vamos multiplicar por "3" o numerador e o denominador da fração do 2º membro, com o que iremos ficar assim (note que quando se multiplica numerador e denominador de uma fração por um mesmo número o resultado não se altera):
x² = 6/9 ------ isolando "x", teremos:
x = ± √(6/9) ------ note que isto é a mesma coisa que:
x = ± √(6)/√(9) ----- como √(6) = 2,44 (já foi dado no enunciado da questão) e que e como √(9) = 3, teremos:
x = ± 2,44 / 3 ---- note que esta divisão dá "0,813" (bem aproximado). Logo:
x = ± 0,813 ------- mas como "x" não poderá ser negativo, pois não há nem base negativa nem logaritmandos negativos, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:
x = 0,813 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a resposta bem aproximada, já que é pedido que se encontre o valor apenas aproximado de "x".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.