Question

Determine o último termo da progressão aritmética (5,7,9,11...an), sabendo que a soma de seus elementos é igual a 480.

Answer 1

Olá.

A razão de uma P.A pode ser obtida a partir da subtração do antecessor de um número.
Ex.: $\mathsf{a_2-a_1=a_3-a_2}$

Assim temos que a razão dessa P.A é 2.
Vamos descobrir o termo geral dessa P.A específica.
$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\mathsf{a_n=5+(n-1)\cdot2}\\\mathsf{a_n=5+2n-2}\\\boxed{\mathsf{a_n=2n+3}}$

Agora, aplicamos na fórmula de soma de P.A.
$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{480=\dfrac{(5+2n+3)\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{2\cdot480=(8+2n)\cdot n}\\ \mathsf{960=8n+2n^2}\\ \mathsf{8n+2n^2-960=0}\\ \mathsf{(8n+2n^2-960=0)^{:2}}\\ \mathsf{n^2+4n-480=0}$

Como gerou uma equação de segundo grau, devemos resolver como tal.
$\left\{\begin{array}{cc}\mathsf{a=}&\mathsf{1}\\\mathsf{b=}&\mathsf{4}\\\mathsf{c=}&\mathsf{-480}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-480)}}{2\cdot1}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+1920}}{2}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-4\pm\sqrt{1936}}{2}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-4\pm44}{2}}$

Agora vamos descobrir as raízes.
$\mathsf{x=\dfrac{-4\pm44}{2}}\\\\ \begin{array}{ccc}\mathsf{x'=\dfrac{-4-44}{2}}&|&\mathsf{x''=\dfrac{-4+44}{2}}\\\\\mathsf{x'=\dfrac{-48}{2}}&|&\mathsf{x''=\dfrac{40}{2}}\\\\\mathsf{x'=-24}&|&\mathsf{x''=20}\end{array}\\\\ \boxed{\mathsf{S=\{-24,~20\}}}$

Como não são aceitos valores negativos, temos que o último termo será o 20°.

Para descobrir seu valor, podemos utilizar a fórmula que encontramos a partir do termo geral.
$\mathsf{a_n=2n+3}\\\\ \mathsf{a_{20}=2\cdot20+3}\\\\ \mathsf{a_{20}=40+3}\\\\ \boxed{\mathsf{a_{20}=43}}$

O último termo, o 20°, vale 43.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.