Question

determine o último termo da pa 9 6 3 ...an sabendo que a soma de seus elementos e - 12

Answer 1

O último (an) termo da PA é igual a $-12$.

A a soma dos elementos de uma PA é dada por $S = (a1 + an).n / 2$.

Calculando-se r.

$r = a2 - a1\\\\r = 6 - 9\\\\r = -3$

Calculando-se an.

$an = a1 + (n - 1 ).r\\\\an = 9 + (n - 1) . -3\\\\an = 9 - 3n + 3\\\\an = 12 - 3n$

Substituindo a fórmula da soma temos:

$S = (a1 + an) . n / 2\\\\-12 = (9 + 12 - 3n).n / 2\\\\-12.2 = (21 - 3n) . n\\\\-24 = 21n - 3^2 \\\\3n^2 - 21n - 24 = 0$

Resolvendo a equação pelo método da soma e produto temos:

$S = -b/a\\\\S = 21 / 3\\\\S = 7$

$P = c / a\\\\P = -24 / 3\\\\ P = -8$

As raízes da equação são $8\ e -1$

Calculando-se an.

$an = 12 - 3n\\\\an - 12 - 3.8\\\\an = 12 - 24\\\\an = -12$

Não se utiliza a raíz $-1$ pelo fato da PA se tornar crescente

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Answer 2

Determine o último termo da pa (9 6 3 ...an) sabendo que a soma de seus elementos e - 12

r = a3-a2
r = 3-6
r = - 3

De modo informal:
9+6+3+0-3-6-9-12
18-18-12
= - 12

R.: último termo: -12.
___________

Sn = - 12
an = a1 + (n-1).r
an = 9 + (n-1).(-3)
an = 9 - 3n + 3
an = 12 - 3n

Sn = (a1 + an).n/2
- 12 = (9+12-3n).n / 2
- 24 = (21 - 3n).n
- 24 = 21n - 3n^2
3n^2 - 21n - 24 = 0
3.(n^2 - 7n - 8)= 0
n^2 - 7n - 8 = 0/3
n^2 - 7n - 8 = 0
a = 1; b = - 7; c = - 8
/\= b^2 - 4ac
/\= (-7)^2 - 4.1.(-8)
/\= 49+32
/\= 81
n = (- b +/- \/ /\)/2a
N = [-(-7) +/- \/81] / 2.1
N = (7 +/- 9)/2

N ' = (7+9)/2= 16/2 = 8
N " = (7-9)/2 = -2/2= - 1

N = 8

An = 12 - 3n
An = 12 - 3.8
An = 12 - 24
An = - 12

R.: an = - 12