Question

determine o ultimo termo da p.a (9,6,3...an) sabendo que a soma do seus elementos e igual a -12

Answer 1

Temos para este problema, duas fórmulas:
Fórmula geral: an=a1+(n-1)r
e a fórmula da soma dos termos: Sn=(a1+an)n/2
r=a2-a1=6-9=-3
Não temos n, e não temos an, então, vamos simplificar o que é possível na primeira equação e, depois, encaixá-la na segunda.

an=a1+(n-1)*r
an=9+(n-1)*-3
an=9-3n+3
an=12-3n

Substituímos o an da segunda fórmula pela equação acima, ficando:
-12=(9+(12-3n))n/2
-24=(9+12-3n)n
-24=9n+12n-3n²
-24=21n-3n²

Reorganizando em forma de equação do 2º grau, temos:
3n²-21n-24=0

Fazendo a bhaskara, -(-21)+-$\sqrt{ (-21)^{2}-4*3*-24} /6$
Obtemos como raízes 8 e -3, mas como nos referimos a número de termos, não existe quantidade de termos negativa, então temos que n=8.

Substituindo na primeira equação:
an=9+(8-1)*-3
an=9+7*-3
an=9-21
an=-12.

Answer 2

$Ola'~~~\mathbb{SARINHA} \\ \\ Sendo~a~P.A~(9;6;3;.....a_n) \\ \\ Dados: \\ a_1=9 \\ r=6-9=-3 \\ S_n=-12 \\ a_n=? \\ ~Se~sabe~que~\boxed{a_n=a_1+(n-1)r}~,~substituindo~dados~temos: \\ \\ a_n=9+(n-1).(-3) \\ \\ a_n=12-3n~~--\ \textgreater \ isolando~(n)~temos \\ \\ \boxed{n= \frac{12-a_n}{3}}~~-----\ \textgreater \ (I) \\ \\ \mathbb{tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt} \\ Para~calcular~''a_n'', para~o~qual~usaremos~a~f\acute{o}rmula~ \\ siguente:~\boxed{S_n= \frac{(a_1+a_n)}{2}.n} ~,substituindo~dados$

$\boxed{-12= \frac{(9+a_n)}{2}.n} ~~----\ \textgreater \ (II) \\ \\ \mathbb{ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt} \\ Substituindo~(I)~em~(II)~temos: \\ \\ -12= \frac{(9+a_n)}{2}.( \frac{12-a_n}{3}) ~~--\ \textgreater \ desenvolvendo \\ \\ -72=108+3a_n-a_n\² \\ \\ a_n\²-3a_n-180=0~~--\ \textgreater \ por~produto~de~2~n\acute{u}meros~temos: \\ \\ (a_n-15).(a_n+12)=0 \\ \\ \boxed{a_n=15}~~~e~~\boxed{a_n=-12} \\ Comos~a~P.A~vemos~que~e'~decrescente, so'~para~valor~de~(a_n) \\ sera': \\ \\ ~\boxed{\boxed{a_n=-12}}} ~---\ \textgreater \ o~ultimo~termo$

$\mathbb{iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Espero~ter~ajudado!!$