Question

Determine o termo x^5 no desenvolvimento de (x^2-3x).(x+2)^5​

Answer 1

Vamos resolver esse de uma outra maneira, para que não fique maçante usar o Termo geral toda hora. A técnica que usaremos nesse é o Triângulo de Pascal, na minha opinião é bem fácil entender, depois que você pega o ritmo é só felicidade.

• Para resolver através do Triângulo de Pascal, você deve escrever a linha correspondente ao expoente do seu binômio, que no caso é "5", portanto vamos escrever até a quinta linha:

$\begin{cases} \sf 0 \rightarrow 1 \\ \sf 1 \rightarrow1 \: \: 1 \\ \sf 2 \rightarrow 1 \: \: 2 \: \: 1 \\ \sf 3 \rightarrow1 \: \: 3 \: \: 3 \: 1 \\ \sf4 \rightarrow 1 \: \: 4 \: \: 6 \: 4 \: \: 1 \\ \sf 5 \rightarrow 1 \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \: 5 \: \: 1 \end{cases}$

Tendo escrito os números, você deve escrever os tais números na frente do nosso binômio, ou seja, (x + 2)⁵:

$\sf (x + 2) {}^{5} = 1 \: \: \: 5 \: \: 10 \: \: \: 10 \: \: \: 5 \: \: \: 1$

Agora vem a parte crucial que é onde devemos fazer a distribuição do primeiro e segundo termo do binômio.

• O primeiro número do binômio começa com o expoente do binômio e vai decrescendo até atingir o expoente 0.

$\sf (x {}^{n} ,x {}^{n - 1} ,x {}^{n - 2}.... ,x {}^{0})$

• Já o segundo número do binômio é segue o processo inverso do primeiro, ou seja, começa com o expoente "0" e cresce até o expoente do binômio.

$\sf(x {}^{0} ,x {}^{n + 1} ,x {}^{n + 2}.... x {}^{n} )$

Sabendo disso, vamos fazer o que nos foi instruído.

$\sf(x + 2) {}^{5} = 1. {x}^{5}.2 {}^{0} + 5. {x}^{4}.2 {}^{1} + 10.x {}^{3} .2 {}^{2} + 10.x {}^{2} .2 {}^{3} + 5.x.2 {}^{4} + 1.x {}^{0} .2 {}^{5} \\ \\ \boxed{ \sf (x + 2) = x {}^{5} + 10x {}^{4} + 40x {}^{3} + 80x {}^{2} + 80x + 32}$

Agora para finalizar ainda temos multiplicar esse binômio pelo (x²-3x) que não incluímos em nenhum momento em nosso cálculo.

$\sf(x {}^{2} - 3x) ( \sf {x}^{5 } + 10x {}^{4} + 40x {}^{3} + 80x {}^{2} + 80x + 32)$

Vou colocar a resposta de uma vez, pois o cálculo é bem extenso, caso queira o desenvolvimento dessa multiplicação basta aplicar a distributividade.

$\boxed{\sf x {}^{7} + 7x {}^{6} + 10x {}^{5} - 40x {}^{4} - 160x {}^{3} - 208x {}^{2} - 96x}$

Espero ter ajudado