Question

determine o termo médio em (x/y + y/m)⁶​

Answer 1

Utilizando binomios de Newton para a expansão de binomios, temos que este é o termo médio da expansão do binomio dado: $15\frac{x^2y^2}{m^4}$

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte binomio:

$(\frac{x}{y}+\frac{y}{m})^6$

E qualquer binomio pode ser expandido segundo os binomios de Newton, dados por:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}$

Assim temos que se substituirmos a e b pelos nosso valores de binomio, teremos a seguinte expansão:

$(\frac{x}{y}+\frac{y}{m})^6=\sum_{i=0}^{6}{6 \choose i}(\frac{x}{y})^{6-i}(\frac{y}{m})^{i}$

Então note que esta somatorio vai de 0 até 6, logo, tem 7 termos, assim o termo do meio, seria o termo 4, então basta substituir i por 4 e pegar somente o termo do meio desta expansão:

${6 \choose 4}(\frac{x}{y})^{6-4}(\frac{y}{m})^{4}$

Simplificando estas calculos:

$\frac{6!}{4!2!}(\frac{x}{y})^{2}\frac{y^4}{m^4}$

$\frac{6.5}{2!}\frac{x^2}{y^2}\frac{y^4}{m^4}$

$15\frac{x^2y^2}{m^4}$

E este é o termo médio da expansão do binomio dado: $15\frac{x^2y^2}{m^4}$