Question

Determine o termo em x⁵ no desenvolvimento do binômio (x + 2)⁷

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirmar que o o termo em x⁵ é T_5 = 560 x³.

Número binomial:

Dado os números naturais n e p, com n ≥ p, o número $\textstyle \sf \sf \tbinom{n}{p}$ é chamado de número binomial n sobre p.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ C_{n, p} = \dbinom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!\cdot ( n - p)!} } } }$

Fórmula do termo geral do desenvolvimento de $\large \textstyle \sf \sf ( x + a)^n$.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ (x+a)^n = \dbinom{n}{0} x^n \cdot a^0 + \dbinom{n}{1} x^{n-1} \cdot a^1 + \dbinom{n}{2} x^{n-2} \cdot a^2 + \dotsi + \dbinom{n}{n} x^0 \cdot a^n } }$

As potências são decrescentes de x.

Termo geral é dado por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ T_{p+1} = \dbinom{n}{p} x^{n -p} \cdot a^p } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf x^5\\ \sf (x + 2)^7 \end{cases} } }$

Resolução:

Procurando o valor de $\textstyle \sf \sf T_5$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ p +1 = 5 \Rightarrow p = 5 - 4 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf p = 4 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T_{p+1} = \dbinom{n}{p} x^{n -p} \cdot a^p } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T_{4+1} = \dbinom{7}{4} x^{7 -4} \cdot 2^4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T_5 = \dbinom{7}{4} x^3 \cdot 16 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = \dfrac{7!}{ 4! \cdot (7 -4 )! } \cdot 16x^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = \dfrac{7!}{ 4! \cdot3! } \cdot 16x^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \diagup\!\!\!{ 4!}}{ \diagup\!\!\!{ 4!} \cdot3! } \cdot 16x^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{ 3!}\cdot 16x^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = \dfrac{7 \cdot \diagup\!\!\!{ 6 }\cdot 5}{ \diagup\!\!\!{ 3} \cdot \diagup\!\!\!{ 2 } \cdot \diagup\!\!\!{ 1 }}\cdot 16x^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{T_5 = 7 \cdot 5 \cdot 16x^{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_5 = 560\:x^{3} }$

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