Question

Determine o termo em x³ no desenvolvimento dos binômios.

A) (x+6)^6
B) (x+3)^8​

Answer 1

O desenvolvimento pode ser feito utilizando o teorema do binômio de Newton. Pelo teorema, um binômio do tipo (x+y)ⁿ é expandido como:

$(x+y)^n~=~\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}\,\binom{n}{k}.\,x^{n-k}.\,y^k$

$ou\\\\(x+y)^n~=~\binom{n}{0}.x^n\,y^0~+~\binom{n}{1}.x^{n-1}\,y^1~+~\binom{n}{2}.x^{n-2}\,.y^2~+...+\binom{n}{n}.x^0\,.y^{n}$

Sendo assim, como estamos interessados no termo em que "x" tem expoente 3, temos:

$\boxed{n-k~=~3}$

a)

Note que neste binômio temos n = 6  e   y = 6, logo, como mostrado no teorema, o termo fica:

$n-k~=~3\\\\6-k~=~3\\\\\boxed{k~=~3}\\\\\\Termo~em~x^3~=~\binom{6}{3}.x^3.\,6^{3}\\\\\\Termo~em~x^3~=~\frac{6!}{3!\,.\,(6-3)!}.x^3.\,216\\\\\\Termo~em~x^3~=~\frac{6!}{3!\,.\,3!}.x^3.\,216\\\\\\Termo~em~x^3~=~20\,.\,x^3.\,216\\\\\\\boxed{Termo~em~x^3~=~4320x^3}$

b)

Note que neste binômio temos n = 8  e   y = 3, logo, como mostrado no teorema, o termo fica:

$n-k~=~3\\\\8-k~=~3\\\\\boxed{k~=~5}\\\\\\Termo~em~x^3~=~\binom{6}{5}.x^3.\,3^{5}\\\\\\Termo~em~x^3~=~\frac{6!}{5!\,.\,(6-5)!}.x^3.\,243\\\\\\Termo~em~x^3~=~\frac{6!}{5!\,.\,1!}.x^3.\,243\\\\\\Termo~em~x^3~=~6\,.\,x^3.\,243\\\\\\\boxed{Termo~em~x^3~=~1458x^3}$