Question

Determine o termo em x² no binômio (x - 2)⁵
a) 80x²
b) -80x²
c) 40x²
d) -40x²

Encontre o termo médio de (x + 1)⁸
a) 54x²
b) 108x
c) 12x³
d) 81
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Answer 1

No desenvolvimento de um binômio de grau "n" (a+b)ⁿ, com "n" Natural, teremos como resultado um polinômio de grau "n" com "n+1" termos como é mostrado no modelo abaixo.

$\boxed{(a+b)^n~=~a^nb^0~+~a^{n-1}b^1~+~a^{n-2}b^2~+~...~+~a^0b^n}$

Cada termo deste polinômio pode ser determinado pela termo geral dado por:

$\boxed{T_{p+1}~=~\dbinom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^p}\\\\\\ou\\\\\\\boxed{T_{p+1}~=~\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}\cdot a^{n-p}\cdot b^p}$

1.

Vamos começar extraindo os dados:

$\begin{array}{ccc}\rightarrow~a&=&x\\\rightarrow~b&=&-2\\\rightarrow~n&=&5\end{array}\right$

Como queremos o termo em x², seguindo o formula do termo geral, queremos que o expoente "n-p" de "a" seja igual a 2, logo:

$n-p~=~2\\\\Substituindo~o~valor~de~n\\\\5-p~=~2\\\\-p~=~2-5\\\\\boxed{p~=~3}$

Substituindo os dados no termo geral, fica:

$T_{3+1}~=~\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}~\cdot~x^{2}\cdot (-2)^3\\\\\\T_{4}~~~~=~~\dfrac{120}{6\cdot 2}~\cdot~x^2\cdot (-8)\\\\\\T_{4}~~~~=~~10~\cdot~x^2\cdot (-8)\\\\\\\boxed{T_{4}~~~~=~\,-80x^2}~~\Rightarrow~Letra~B$

2.

Como dito anteriormente, um binômio de grau "n", terá "n+1" termos, logo o binômio dado, de grau 8, terá um total de 9 termos.

Com isso, podemos dizer que o termo médio será o 5° termo.

Neste caso, queremos que "p+1" seja igual a 5, logo:

$p+1~=~5\\\\p~=~5-1\\\\\boxed{p~=~4}$

$T_{5}~=~\dfrac{8!}{4!\cdot (8-4)!}~\cdot~x^{8-4}\cdot 1^4\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 4!}\cdot x^4\cdot 1\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8\cdot7\cdot 6\cdot5\cdot4!\!\!\!\backslash}{4!\!\!\!\backslash\cdot 24}\cdot x^4\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8\!\!\!\backslash\cdot7\cdot 6\!\!\!\backslash\cdot5}{24\!\!\!\!\backslash}\cdot x^4\\\\\\T_5~=~2\cdot 7\cdot 5\cdot x^4\\\\\\\boxed{T_5~=~70x^4}~~~Rightarrow~Sem~alternativa~correta$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Espero~ter~ajudado,~qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$