Question

Determine o termo em x² no binômio (5 + x)⁴: * a) 20x² b) 80x² c) 150x² d) 500x²

Answer 1

No desenvolvimento de um binômio de 4° grau, teremos como resultado um polinômio do 4° grau, ou seja, um polinômio na forma:

$\boxed{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}$

Como estamos interessados no termo em x², precisamos calcular o 3° termo do polinômio.

Cada termo em um binômio (x+b)ⁿ é dado por:

$\boxed{T_{p+1}~=~\dbinom{n}{p}\cdot x^{n-p}\cdot b^p}\\\\\\ou\\\\\\\boxed{T_{p+1}~=~\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}\cdot x^{n-p}\cdot b^p}$

Onde "p+1" é o termo desejado e "n", o grau do binômio.

Assim, temos que calcular T₃, com p=2 e n=4

$T_{2+1}~=~\dfrac{4!}{2!\cdot(4-2)!}\cdot x^{4-2}\cdot 5^2\\\\\\T_{3}~=~\dfrac{4!}{2!\cdot2!}\cdot x^2\cdot 25\\\\\\T_{3}~=~\dfrac{24}{2\cdot2}\cdot x^2\cdot 25\\\\\\T_{3}~=~6\cdot x^2\cdot 25\\\\\\\boxed{T_{3}~=~150x^2}~~\rightarrow~Letra~C$