Question

Determine o termo central do desenvolvimento de(x^2-1/x)^8

Answer 1

Triângulo de Pascal: 

1 - 2 - 1 
1 - 3 - 3 - 1 
1 - 4 - 6 - 4 - 1 
1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 
1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1 
1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1 
1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1 
1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 -1 
1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1 (COEFICIENTES) (11 termos) 

O ideal não é fazer assim por causa do tempo: 

mas fazer as combinações (análise combinatoria) 

C (0, 10) = 1 
C (1, 10) = 10 
C(2, 10 ) = 45 
... 

como eu quero o termo central : Quando é elevado a 10 são 11 termos então seria 

C(5,10 ) = (10! ) / 5! ( 10 - 5 ) ! = 252 ( Este é o coeficiente) 


Agora vamos ao desenvolvimento: 


1º termo : 1 (x^2)^0 ( 3 y)^10 
2º termo : 10 (x^2)^1 ( 3 y)^9 
3º termo : 45 (x^2)^2 ( 3 y)^8 
4º termo : 120 (x^2)^3 ( 3 y)^7 
5º termo : 210 (x^2)^4 ( 3 y)^6 
6º termo : 252 (x^2)^5 ( 3 y)^5 (este é o que deve ser resolvido pois é o termo do meio) 
7º termo : 210 (x^2)^6 ( 3 y)^4 
8º termo : 120 (x^2)^7 ( 3 y)^3 
9º termo : 45 (x^2)^8 ( 3 y)^2 
10º termo : 10 (x^2)^9 ( 3 y)^1 
11º termo : 1 (x^2)^10 ( 3 y)^0 


6º termo : 252 (x^2)^5 ( 3 y)^5 (este é o que deve ser resolvido pois é o termo do meio) 




252 (x^2)^5 ( 3 y)^5 = 252 (x^10) (243 y^5) = 61 236 x^10 y^5 (esta é a resposta)