Question

determine o termo central do desenvolvimento de (2x+1)^4​

Answer 1

Utilizando o binômio de Newton, sabemos que a expansão de (2x+1)^4 terá 4+1 = 5 termos, ou seja, se queremos o termo central, estaremos interessados no termo de ordem 3.

O termo geral da expansão é dado por:

$T_{p+1}~=~\binom{n}{p}.\left(a^{n-p}~.~b^{\,p}\right)$

Onde "p+1" é a posição do termo e "n" o expoente do produto notável.

Vamos então, para facilitar, separar todos dados:

$\rightarrow~ p+1~=~3\\\\\rightarrow~ \boxed{p~=~2}\\\\\\\rightarrow~\boxed{n=4}\\\\\\\rightarrow~\boxed{a=2x}\\\\\\\rightarrow~\boxed{b=1}$

Substituindo os dados na formula do termo geral:

$T_{p+1}~=~\binom{n}{p}.\left(a^{n-p}~.~b^{\,p}\right)\\\\\\T_{3}~=~\binom{4}{2}.\left((2x)^{4-2}~.~1^{\,2}\right)\\\\\\T_{3}~=~\frac{4!}{2!.(4-2)!}.\left((2x)^{4-2}~.~1^{\,2}\right)\\\\\\T_{3}~=~\frac{24}{2~.~2}.\left((2x)^{2}~.~1\right)\\\\\\T_{3}~=~6.\left(4x^2~.~1\right)\\\\\\\boxed{T_{3}~=~24x^2}$