Question

Determine o sexagésimo sexto termo da P.A (4, 1, -2, -5)

Answer 1

resolução!

r = a2 - a1

r = 1 - 4

r = - 3

an = a1 + ( n - 1 ) r

an = 4 + ( 66 - 1 ) - 3

an = 4 + 65 * (-3)

an = 4 + (-195)

an = - 191

Answer 2

Olá! Seguem as respostas com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (4, 1, -2, -5, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4

b)sexagésimo sexto termo (a₆₆): ?

c)número de termos (n): 66 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 66ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do sexagésimo sexto termo, apenas pela observação dos quatro primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos sempre decrescem) e o termo solicitado igualmente será menor que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 1 - 4 ⇒

r = -3

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o sexagésimo sexto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₆ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₆₆ = 4 + (66 - 1) . (-3) ⇒

a₆₆ = 4 + (65) . (-3) ⇒   (Veja a Observação abaixo.)

a₆₆ = 4 - 195 ⇒

a₆₆ = -191

Observação: Aplica-se na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, -x- ou +x+, resultam sempre em sinal de positivo.

Resposta: O 66º termo da P.A(4, 1, -2, -5, ...) é -191.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₆₆ = -191 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o sexagésimo sexto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₆ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-191 = a₁ + (66 - 1) . (-3) ⇒

-191 = a₁ + (65) . (-3) ⇒  (Aplica-se a Observação acima.)

-191 = a₁ - 195 ⇒

-191 + 195 = a₁ ⇒  

4 = a₁ ⇔                       (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4                            (Provado que a₆₆ = -191.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!