Matemática, perguntado por vickpekennah, 1 ano atrás

determine o sexagesimo oitavo termo da PA (15,19,23...)

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

$a1=15\\a2=19\\r=a2-a1=19-15=4\\an=a1+(n-1).r\\a68=15+(68-1).4\\a68=15+67.4\\\\\boxed{a68=283}$

Lembre-se

a1 - primeiro termo
an = a1 + (n-1).r ( Formula dos termos gerais de uma PA)
r - razão
n - termo

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (15, 19, 23,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:15

b)sexagésimo oitavo termo (a₆₈): ?

c)número de termos (n): 68 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 68ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do sexagésimo oitavo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 19 - 15 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o sexagésimo oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₆₈ = 15 + (68 - 1) . (4) ⇒

a₆₈ = 15 + (67) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₆₈ = 15 + 268 ⇒

a₆₈ = 283

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O sexagésimo oitavo termo da P.A.(15, 19, 23,...) é 283.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₆₈ = 283 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o sexagésimo oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

283 = a₁ + (68 - 1) . (4) ⇒

283 = a₁ + (67) . (4) ⇒

283 = a₁ + 268 ⇒ (Passa-se 268 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

283 - 268 = a₁ ⇒

15 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 15 (Provado que a₆₈ = 283.)

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