Question

Determine o sen x, sendo que o cos x=
1
2
, com x ∈ [0; π
2
]

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Devemos determinar o valor de $\sin(x)$, sendo que o $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$, com $x\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Primeiro, lembre-se da identidade fundamental da trigonometria: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.

Com isso, podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$

É importante saber em qual intervalo estas funções estão definidas, pois é necessário determinar qual o sinal correto da função neste intervalo.

Sabendo que, neste caso, $x\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $0\leq\sin(x)\leq1$. Assim, fazemos:

$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$

Substituindo o valor cedido pelo enunciado, teremos:

$\sin(x)=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$

Calcule a potência e some os valores

$\sin(x)=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \sin(x)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Calcule o radical, aplicando a propriedade $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},~b\neq0$

$\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}~~\checkmark$

Este é o valor da função seno que buscávamos.