Question

Determine o(s) valor(es) de LaTeX: \mu\in\mathbb{R}μ∈ℝ, sabendo que LaTeX: A=\begin{bmatrix} \mu & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix} e que LaTeX: A^2+A=\begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 0 & 12 \end{bmatrix} .

Answer 1

Reescrevendo o enunciado:

Determine o(s) valor(es) de μ ∈ IR, sabendo que $A=\left[\begin{array}{ccc}\mu&1\\0&3\end{array}\right]$ e que $A^2+A=\left[\begin{array}{ccc}6&6\\0&12\end{array}\right]$.

Solução

Primeiramente, vamos determinar A²:

$A^2 = \left[\begin{array}{ccc}\mu&1\\0&3\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}\mu&1\\0&3\end{array}\right]$

$A^2=\left[\begin{array}{ccc}\mu^2&\mu + 3\\0&9\end{array}\right]$

Agora, basta substituir as matrizes A e A² na equação dada inicialmente, ou seja,

$\left[\begin{array}{ccc}\mu^2&\mu +3\\0&9\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}\mu&1\\0&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6&6\\0&12\end{array}\right]$

Logo,

$\left[\begin{array}{ccc}\mu^2+\mu&\mu+4\\0&12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6&6\\0&12\end{array}\right]$

Igualando as duas matrizes, encontramos duas equações:

μ² + μ = 6 e μ + 4 = 6

Da segunda equação, temos que μ = 2.

Na primeira equação μ² + μ - 6 = 0 utilizaremos a fórmula de Bháskara para determinar o(s) valor(es) de μ:

Δ = 1² - 4.1.(-6)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

$\mu = \frac{-1+-\sqrt{25}}{2}$

$\mu=\frac{-1+-5}{2}$

$\mu' = \frac{-1-5}{2}=-3$

$\mu''=\frac{-1+5}{2}=2$

Perceba que μ = -3 não satisfaz μ + 4 = 6.

Portanto, o único valor de μ é 2.