Question

Determine o(s) valor(es) da constante a de forma que lim x->0 (cos (ax))^(1/x^2) = 1/raiz quadrada e

Answer 1

Resposta:

lim  (cos(ax))^(1/x^2)  

x->0  

Fazendo ajustes  

y = (cos (ax))^(1/x^2)  

ln(y) = ln(cos (ax))^(1/x^2)

ln(y) =(1/x^2) * ln(cos(ax))

y = e^[(1/x^2) * ln(cos(ax))]  

ficamos com  

lim  e^[(1/x^2) * ln(cos(ax))]

x->0  

lim  e^[(ln(cos(ax))/x²]  << não esqueça  

x->0  

lim  [(ln(cos(ax))/x²]

x->0

vou usar L'Hopital

derivando ln(cos(ax))=-a*sen(ax)*cos(ax)/cos(ax)=-a*sen(ax)

derivando x²=2x  

lim  [-a*sen(ax)/2x]

x->0

vou usar L'Hopital  , novamente

derivando -a*sen(ax) =-a*a*cos(sen(ax))

derivando 2x=2

lim  (-a²/2)cos(sen(ax)) =-a²/2

x->0  

Lembrando aquilo que não era para ser esquecido  

= e^(-a²/2)  

Fazendo a igualdade

e^(-a²/2)   = 1/√e

e^(-a²/2)   =e^(-1/2)

ln e^(-a²/2)   = ln e^(-1/2)

-a²/2 = -1/2

a² =1  ==> a=1  ou a=-1