Question

Determine o resultado da integral de linha da função f(x,y,z)=x-3y²+z sobre a curva C, que é o segmento de reta que tem como ponto inicial Po(0,0,1) e como ponto final P(2,1,2)

Answer 1

Olá!

Primeiro ponto é parametrizar a curva, como ela é um segmento de reta, vamos fazer da seguinte maneira:

Vetor PoP = V = (2,1,1)

Esse segmento parametrizado é Po + V.t:

r(t) = (0,0,1) + (2,1,1)t= (2t , t , t+1)

Analisando o componente y desse vetor (r(t)), podemos ver que ela representa o valor de t. No primeiro ponto a componente y está marcando 0, no segundo, está marcando 1, logo t varia de 0 a 1.

A integral de linha é dado pela seguinte fórmula:

$\int \:f\left(x,y,z\right)dS$

$dS\:=\:\left|r'\left(t\right)\right|.dt$

$\int \:\:f\left(x,y,z\right)\left|r'\left(t\right)\right|.dt$

$\int \:\:\left(x-3y^2+z\:\right)\left|r'\left(t\right)\right|.dt$

Substituindo os valores (x,y,z) para o domínio de t:

$\int \:\:\left(2t-3t^2+t+1\:\right)\left|r'\left(t\right)\right|.dt$

r'(t) é a derivada de r(t), sendo igual a (2,1,1)

O módulo de r'(t) é $\sqrt{2^2 + 1^2 +1 ^2}$ que é igual a $\sqrt{6}$, logo:

$\int \:\:\left(2t-3t^2+t+1\:\right)\sqrt{6}.dt$

Como o t varia de 0 a 1, temos que a integral a ser calculada será a seguinte:

$\int _0^1\left(2t-3t^2+t+1\:\right)\sqrt{6}.dt$

$_0^1\left(2t-3t^2+t+1\right)\sqrt{6}dt=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Espero ter ajudado!