Question

Determine o resto da divisão: (x⁵ + 4x⁴ + 3x³ + 2x² + x) ÷ (x² + x) a) R(x) = x² b) R(x) = x² + x c) R(x) = − x d) R(x) = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~R(x) = -x}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o método da chave de Euclides. Consiste em dispor os polinômios da seguinte forma:

$P(x)~~|~~ D(x)\\~~~~~~~~~----\\R(x)~~~~~Q(x)$

De forma que $P(x)$ seja o dividendo, $D(x)$ seja o divisor, $Q(x)$ o quociente e $R(x)$ o resto, que pode ser um número ou outro polinômio que não pode mais ser dividido.

Substitua os polinômios na chave

$x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----$

Multiplicamos o polinômio divisor por um fator para que o primeiro termo deste seja igual ao primeiro termo do polinômio dividendo, e então passamos este resultado com sinal inverso. Ou seja:

Para $x^2$ se tornar $x^5$, multiplique $D(x)$ por $x^3$ e subtraia em $P(x)$

$x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^3\\\\\\\ x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\-x^5-x^4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^3\\\\\\\\ 3x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^3$

Replique o mesmo passo, agora multiplicando $D(x)$ por um fator $3x^2$ e some isto ao quociente:

$3x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^3+3x^2\\\\\\\\\ 3x^4+3x^3+2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\-3x^4-3x^3~~~~~~~~~~~~~~~~x^3+3x^2\\\\\\\\\ 2x^2+x~~|~~ x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~-----\\~~~~~~~~~~~~~~~~x^3+3x^2$

Por fim, replique este processo, agora multiplicando $D(x)$ por um fator $2$ e some isto ao quociente:

$2x^2+x~~~~~~~~|~~x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~------\\-2x^2-2x~~~~x^3+3x^2+2\\\\\\\\ \boxed{ -x}~~~~~~~~|~~x^2+x\\~~~~~~~~~~~~~~------\\~~~~~~~~~~~~~~~~x^3+3x^2+2$

Como podemos ver, o polinômio que resta não é mais divisível, logo o resto $R(x) = -x$.

Esta resposta está contida na alternativa letra c).