Question

determine o resto da divisão por 11 do numero $416^{37^8^4^2}$ (me ajudem POR FAVOR)

Answer 1

Olá Jonathan.

• Fatos que ajudam:

(Critério de divisibilidade por 11)

Um número n é divisível por 11, se, e somente se, 11 divide a soma e subtração intercalada dos dígitos de n.

Exemplo:

11 | 121

Pois,

11 | 1 - 2 + 1 = 0

Conseguimos obter o resto da divisão de um inteiro n por 11, usando o critério de divisibilidade por 11.

Por exemeplo.

O número 25 deixa resto 3 na divisão por 11, pois - 2 + 5 = 3.

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(Teorema)

Pelo teorema de Fermat, se p é um número primo e a é um inteiro não divisível por p, então temos que:

$\mathsf{a^{p-1}\equiv1~(mod~p)}$

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Voltando a questão.

$\maths{416^{37^{842}}\equiv (4-1+6)^{37^{842}}~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv9^{37^{842}}~(mod~11)}$


Pelo teorema de Fermat, temos:


$\mathsf{9^{10}\equiv1~(mod~11)}$


Note que:


$\mathsf{37^{842}\equiv7^{842}~(mod~10)}\\\\\\\mathsf{37^{842}\equiv49^{421}~(mod~10)}\\\\\mathsf{37^{842}\equiv(-1)^{421}~(mod~10)}\\\\\\\mathsf{37^{842}\equiv 9~(mod~10)}$


Então temos que:


$\mathsf{416^{37^{842}}=416^{10k+9}}$


Aplicando congruência módulo 11.


$\mathsf{416^{37^{842}}=416^{10k+9}\equiv9^{10k+9}~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv(9^{10})^k\cdot 9^9~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv1^k\cdot(-2)^9~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv(-2)^7\cdot (-2)^2~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv(-128)\cdot4~(mod~11)}$

$\mathsf{416^{37^{842}}\equiv-(1-2+8)\cdot4~(mod11~)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv4\cdot4~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv16~(mod~11)}\\\\\\\mathsf{416^{37^{842}}\equiv5~(mod~11)}$

Dúvidas? comente.