Question

Determine o resto da divisão de 6^26 + 2^66 por 5

Answer 1

O resto dessa divisão é igual a zero.

Inicialmente, vamos analisar o comportamento de cada base quando elevada a algum expoente. Vamos começar pelo número 6. Note que, independente do expoente, o último algarismo é sempre igual a 6, pois:

$6^1=6\\ 6^2=36\\ 6^3=216\\ 6^4=1296$

Agora, vamos analisar o número 2. Veja que, nesse caso, existe uma variação, mas os últimos algarismos sempre aparecem nessa ordem: 2, 4, 8 e 6.

$2^1=2\\ 2^2=4\\ 2^3=8\\ 2^4=16\\ 2^5=32\\ 2^6=64\\ 2^7=128\\ 2^8=256$

Desse modo, quando o expoente for igual a 66, o último algarismo deve ser igual a 4, pois 64 é divisível por 4. Assim, com o expoente 65 o último algarismo deve ser 2 e, então, com expoente 66 o último algarismo é 4.

Agora, note que o número 5 é divisor de todos os números que terminam em 0 ou 5. Então, para determinar o resto da divisão, basta somarmos os últimos algarismos de cada parcela. Fazendo isso, veja que o resultado é 10, ou seja, essa soma será divisível por 5. Portanto, o resto dessa divisão é igual a zero.