Question

Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência
Σ∞₁(x+4)^k(k+1)!

Answer 1

Resolução da questão, veja bem.

Encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada. Para encontrarmos o intervalo de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste, por sua vez, nos diz que devemos verificar a existência de um n ≥ N, tal que :

$\sf{a_{n} \neq 0}~e~\sf{L=\displaystyle\lim_{\sf{n\;\to\;\infty}}\left|\dfrac{\sf{a_{n+1}}}{\sf{a_n}}\right|}$

Para o teste da razão temos as seguintes conclusões possíveis :

$\sf{L}=\begin{cases} \sf{Se~L<1,~a~serie~converge.}\\ \sf{Se~L=1,~o~teste~\acute{e}~inconclusivo.} \\ \sf{Se~L>1,~a~serie~diverge.}\end{cases}$

Vamos descobrir a expressão que ficará no nosso limite L :

$\sf{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\sf{\left|\dfrac{\dfrac{(x+4)^{(k+1)}}{((k+1)+1)!}}{\dfrac{(x+4)^k}{(k+1)!}}\right|}$

Agora vamos calcular o limite da expressão quando k tendo ao infinito para encontrarmos L :

$\sf{L}=\displaystyle\lim_{\sf{k\;\to\;\infty}}\left(\sf{\left|\dfrac{\dfrac{(x+4)^{(k+1)}}{((k+1)+1)!}}{\dfrac{(x+4)^k}{(k+1)!}}\right|}\right)=\displaystyle\lim_{\sf{k\;\to\;\infty}}\left(\sf{\left|\dfrac{\dfrac{(x+4)^{k+1}}{(k+2)!}}{\dfrac{(x+4)^k}{(k+1)!}}\right|}\right)$

Vamos trabalhar com a expressão desse limite usando a propriedade da divisão de frações (conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda) :

$\sf{\left|\dfrac{\dfrac{(x+4)^{k+1}}{(k+2)!}}{\dfrac{(x+4)^k}{(k+1)!}}\right|}=\left|\sf{\dfrac{(x+4)^{\diagup\!\!\!\!k+1}}{(k+2)!}}\right|\cdot \left|\sf{\dfrac{(k+1)!}{(x+4)^{\diagup\!\!\!\!k}}}\right|$

Eliminamos o termo (x + 4) em comum e agora devemos expandir (k + 2)! :

$\left|\sf{\dfrac{(x+4)^{\diagup\!\!\!\!k+1}}{(k+2)!}}\right|\cdot \left|\sf{\dfrac{(k+1)!}{(x+4)^{\diagup\!\!\!\!k}}}\right|=\left|\sf{\dfrac{(x+4)\cdot (k+1)!}{(k+2)!}}\right| \\ \\ \\ \left|\sf{\dfrac{(x+4)\cdot ( \diagup\!\!\!\!\!k+ \diagup\!\!\!\!\!1)!}{(k+2)\cdot \diagup\!\!\!\!\!(k+\diagup\!\!\!\!\!1)!}}\right| \\ \\ \\ \left|\sf{\dfrac{x+4}{k+2}}\right|$

Com a expressão simplificada, voltamos para o nosso limite L :

$\sf{L}=\displaystyle\lim_{\sf{k\;\to\;\infty}}\left(\sf{\left|\dfrac{\dfrac{(x+4)^{(k+1)}}{((k+1)+1)!}}{\dfrac{(x+4)^k}{(k+1)!}}\right|}\right)=\displaystyle\lim_{\sf{k\;\to\;\infty}}\left(\sf{\left|\dfrac{x+4}{k+2}\right|}\right)\\ \\ \\ \sf{|x+4|}\cdot \displaystyle\lim_{\sf{k\;\to\;\infty}}\left(\sf{\left|\dfrac{1}{k+2}\right|}\right) \\ \\ \\ \sf{|x+4|}\cdot 0 \\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{L=0}}}}$

Como o L < 1, podemos dizer que que a série converge para todo x, ou seja, temos o seguinte intervalo de convergência:

$\sf{(-\infty<x<\infty)}$

O raio de convergência, por sua vez, também será o infinito.

Alternativa C é a correta!!

Espero que te ajude!!

Answer 2

Resposta:

a resposta correta e a C.

Explicação passo a passo: