Question

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio p(x )=x4+x2−3x+1 por

g( x)=x3−x2−1 .

quociente= x^2 + x + 3 , resto= x + 4
quociente= x^2 + x + 1, resto= - x + 2
quociente= x^2 + 1, resto = - x + 3
Nenhuma das outras opções.
quociente= x+ 1, resto = 2x^2 - 2x + 2

Answer 1

Resposta: Quociente = $x+1$ e resto = $2x^2-2x+2$.

Explicação passo a passo:

Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio

                                    $\Largep(x)=x^4+x^2-3x+1$

por

                                           $\Largeq(x)=x^3-x^2-1.$

Vamos resolver esse problema fazendo a divisão armada. Sim, é possível dividir polinômios de maneira ''arcaica'' assim como aprendemos a dividir números racionais na mão nos tempos de escola. Para tal faremos a montagem do dispositivo de divisão:

                             $\\\Large\begin{array}{c|l}x^4+x^2-3x+1&\underline{~x^3-x^2-1~}\\&\\\end{array}$

Nessa divisão, os termos do quociente irão multiplicar todos os termos do divisor, só que todo valor colocado abaixo do polinômio $p(x)$ deve ficar com o sinal trocado.

Para o primeiro termo do quociente, faremos a seguinte pergunta: qual o termo que multiplicado por $x^3$ resulta em $x^4$? $x$, pois $x\cdot x^3=x^4$. Então:

                         $\\\Large\begin{array}{l|l}~~~x^4+x^2-3x+1&\underline{~x^3-x^2-1~}\\\underline{-\,x^4+x^3+x~}&~x\\~~~x^3+x^2-2x+1\end{array}$

Agora, qual o termo que multiplicado por $x^3$ resulta em $x^3$? $1$, pois $1\cdot x^3=x^3$. Logo:

                              $\\\Large\begin{array}{l|l}~~~x^4+x^2-3x+1&\underline{~x^3-x^2-1~}\\\underline{-\,x^4+x^3+x~}&~x+1\\~~~x^3+x^2-2x+1\\\underline{-\,x^3+x^2+1~}\\~~~2x^2-2x+2\end{array}$

Como o grau do resto ficou inferior ao grau do polinômio $q(x)$, paramos por aqui. Então fica a conclusão de que:

                               $\\\Large\begin{array}{l|l}~~~x^4+x^2-3x+1&\underline{~x^3-x^2-1~}\\~~~\underbrace{2x^2-2x+2}_{\rm resto}&~\underbrace{x+1}_{\rm quociente}\end{array}$