Question

Determine o quociente e o resto da divisão de P(x)=x³+3x+4 por B(x)=x²-1

Answer 1

Para dividir dois polinômios, é necessário que eles esteja completos, no exemplo acima, eles não estão, para isso é necessário completá-lo com 0x mais o expoente que falta. No primeiro polinômio ficará assim x(cubo) + 0x(quad) + 3x + 4 (é chamado de Dividendo), já a outra x(quad) + 0x - 1(divisor), agora vamos aos cálculos: Você divide x(cubo) por x(quad) e o resultado que é o quociente multiplica por cada termo do divisor, fazendo a regra de sinais, ou seja, sinais contrários é menos (-) e sinais iguais é (+).
X(cubo) : x(quad) = x, então,
x(cubo) + 0x(quad) + 3x + 4
-x(cubo) - 0x (quad) + x, eliminando os simétricos, ficará assim:
4x + 4, como o expoente do resto que no caso é 1 é menor do que o expoente do divisor que é 2, logo não tem como continuar a conta, então para por ai. Resposta quociente = x e o resto = 4x+4.

Answer 2

Horner :
coeficiente  B(x) = x²-1 --> x = +1 ou  x = -1
       1    0   3   4
-1          -1  1   -4
  --------------------------  +
       1    -1   4   0   
1            1    0
   -------------------  +
       1     0    4 ---> O resto
       (x + 0) = x ----> quociente

alternative
            x²-x+4     ------------->              x            -----> quociente     
   x+1  /x³+3x+4                        x-1 / x²-x+4
           x³ +x²                                    x²-x
         ---------------- -                            ------------ -
            -x²+3x+4                                      4   -----> O resto
            -x² -x 
           -------------- -
                 4x + 4
                 4x + 4
            ------------- -
                    0

3rd alternative

$\frac{ x^{3}+3x+4 }{ x^{2} -1} = \frac{(x+1)( x^{2} -x+4)}{(x+1)(x-1)}$

$= \frac{ x^{2} -x+4}{x-1}$

$= \frac{x(x-1)+4}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} + \frac{4}{x-1}$

 $= x+ \frac{4}{x-1}$

x = quociente
4 = o resto