Determine o quadragésimo primeiro termo da P.A (12,8,4...)
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (12, 8, 4, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 12
b)quadragésimo primeiro termo (a₄₁): ?
c)número de termos (n): 41 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 41º), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do quadragésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos sempre decrescem) e o termo solicitado igualmente será menor que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ =>
r = 8 - 12 =>
r = -4
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o quadragésimo primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₄₁ = a₁ + (41 - 1) . (-4) ⇒
a₄₁ = 12 + (41 - 1) . (-4) ⇒
a₄₁ = 12 + 40 . (-4) (Para os fatores destacados, veja a Observação 2.)
Observação 2: Aplica-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo.
a₄₁ = 12 + 40 . (-4) ⇒
a₄₁ = 12 - 160 ⇒
a₄₁ = -148
RESPOSTA: O quadragésimo primeiro termo da PA(12, 8, 4, ...) é -148.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₄₁ = -148 na fórmula do termo geral da PA, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₄₁ = a₁ + (n - 1) . r ⇒
-148 = 12 + (41 - 1) . (-4) ⇒
-148 = 12 + 40 . (-4) ⇒ (Aplica-se a regra da Observação 2.)
-148 = 12 - 160 ⇒
-148 = -148 (Provado que a₄₁ = -148.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
resolução!
r = a2 - a1
r = 8 - 12
r = - 4
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a41 = a1 + 40r
a41 = 12 + 40 * ( - 4 )
a41 = 12 + ( - 160 )
a41 = - 148