Determine o primeiro termo de uma P.G. com 5 elementos, no qual o último termo é 1024 e
a razão é 4.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Progressão geométrica é uma sequência numérica que possui uma razão fixa q e, a partir do primeiro termo, os termos são cálculos pela razão q vezes o seu antecessor. Uma progressão geométrica pode ser crescente, quando sua razão for maior que um; decrescente, quando a razão for um número entre zero e um; constante, quando a razão for exatamente um; e oscilante, quando a razão for menor que zero.
Essa sequência pode ser finita, quando há limitação de termos na sequência, ou infinita, caso ocorra exatamente o contrário. A equação do termo geral de uma progressão geométrica e a soma de todos os seus termos são calculadas a partir de fórmulas específicas, que dependem do primeiro termo e da razão.
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O que é uma progressão geométrica?
Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor.
Exemplo:
- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.
Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …).
a1 = 2
a2 = 2.3 = 6
a3 = 6.3 = 18
a4 = 18.3 = 54
a5 = 54.3 = 162.
A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).
A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa divisão sempre será igual a q.
Exemplo:
(1, 2, 4, 8, 16, 32)
Logo, essa PG possui razão q = 2.
Na imagem, os grãos de arroz representam uma PG.
Propriedades da PG
→ 1ª propriedade
Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual.
Exemplo:
(2, 8, 32, 128, 512, 2048)
2∙ 2048= 4096
8∙512 = 4096
32 ∙128 = 4096
Quando a PG possui uma quantidade ímpar de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes.
Exemplo:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)
1∙ 64 = 64
2∙32 = 64
4∙16 = 64
8∙8 = 64
→ 2ª propriedade
O termo central da PG é também a sua média geométrica.
Veja também: Proporção – comparação entre duas grandezas
Classificação de uma PG
Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.
Crescente: Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < … < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, …), q = 5, logo a PG é crescente.
Constante: Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante.
Decrescente: Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 > … > an. Uma PG é decrescente se, e somente se, a razão for um número entre zero e um, ou seja, 0 > q > 1. Exemplo:
Oscilante: Para que ela seja oscilante, os termos são alternadamente negativos e positivos, o que ocorre quando a razão é negativa, ou seja, q < 0. Exemplo: (1,-2,4,-8,16,-32,64...) e q=-2, logo a PG é oscilante.
Termos de uma PG
Os termos de uma PG podem ser encontrados a partir de uma fórmula que depende somente do termo inicial e da razão. A fórmula para encontrar os termos de uma PG é:
Demonstração da fórmula:
Exemplo: Encontre o 9º termo de uma PG que possui a1 = 3 e q = 5.
Termo geral de uma PG
Quando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível simplificar a fórmula do termo de uma PG para encontrarmos o termo geral, que depende somente do valor de n que queremos encontrar. Para isso, substituímos o valor do primeiro termo e da razão na fórmula.
Exemplo:
Encontre o termo geral da PG sabendo que a1 = 81 e q = 1/3.
Resolução:
Note que agora, dado o valor de n, é possível encontrar qualquer termo dessa sequência.
Soma dos termos de uma PG
Somar os termos de uma PG seria uma tarefa bastante trabalhosa se a quantidade dos termos fosse muito grande. Para somas pequenas, a escrita desses termos e a realização da soma bastariam. Porém, há problemas em que o interesse é realizar a soma dos n termos de uma PG, mas a quantidade de termos a serem somados é grande. Nesses casos, devemos usar a seguinte fórmula:
Note que essa fórmula depende do valor de n, ou seja, ela só serve para uma quantidade limitada de valores, por isso dizemos que essa é a soma dos termos de uma PG finita.
Exemplo:
Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12, 24,…)?
Resolução:
Temos que a1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2).
Assim, a soma dos 10 primeiros termos será: