Question

determine o ponto P', simétrico do ponto P(2,1), em relação à reta s, de equação y=2x

Answer 1

$\bullet\;\;$ Existe uma reta $t,$ perpendicular a $s$ que passa pelo ponto $P(2,\;1).$


O coeficiente angular da reta $s$ é $m_{s}=2.$

Se $t$ é perpendicular a $s,$ então o coeficiente angular da reta $t$ é dado por

$m_{t}=-\dfrac{1}{m_{s}}\\ \\ \\ m_{t}=-\dfrac{1}{2}$


A equação da reta $t$ é

$t:\;y-y_{_{P}}=m_{t}\,(x-x_{_{P}})\\ \\ t:\;y-1=-\dfrac{1}{2}\,(x-2)\\ \\ \\ t:\;y-1=-\dfrac{1}{2}\,x+1\\ \\ \\ t:\;y=-\dfrac{1}{2}\,x+1+1\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}t:\;y=-\dfrac{1}{2}\,x+2 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Encontrar o ponto $M,$ que é o ponto em que as retas $s$ e $t$ se cruzam:


Igualando as equações das retas $s$ e $t,$ temos

$2x=-\dfrac{1}{2}\,+2\\ \\ 2x+\dfrac{1}{2}\,x=2\\ \\ \\ 4x+x=4\\ \\ 5x=4\\ \\ x=\dfrac{4}{5}$


Como $M$ é um ponto da reta $s,$ devemos ter

$y=2\cdot \dfrac{4}{5}\\ \\ \\ y=\dfrac{8}{5}$


O ponto $M$ é o ponto $\left(\dfrac{4}{5}\,,\;\dfrac{8}{5} \right ).$


$\bullet\;\;$ A reta $s$ é a reta mediatriz do segmento $PP',$ e $M$ é o ponto médio deste segmento:

$x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{P}}+x_{_{P'}}}{2}\\ \\ \\ 2x_{_{M}}=x_{_{P}}+x_{_{P'}}\\ \\ x_{_{P'}}=2x_{_{M}}-x_{_{P}}\\ \\ x_{_{P'}}=2\cdot \dfrac{4}{5}-2\\ \\ \\ x_{_{P'}}=\dfrac{8}{5}-2\\ \\ \\ x_{_{P'}}=\dfrac{8}{5}-\dfrac{10}{5}\\ \\ \\ x_{_{P'}}=\dfrac{8-10}{5}\\ \\ \\ x_{_{P'}}=-\dfrac{2}{5}$


De forma análoga, temos que

$y_{_{P'}}=2y_{_{M}}-y_{_{P}}\\ \\ y_{_{P'}}=2\cdot \dfrac{8}{5}-1\\ \\ \\ y_{_{P'}}=\dfrac{16}{5}-1\\ \\ \\ y_{_{P'}}=\dfrac{16}{5}-\dfrac{5}{5}\\ \\ \\ y_{_{P'}}=\dfrac{16-5}{5}\\ \\ \\ y_{_{P'}}=\dfrac{11}{5}$


$\bullet\;\;$ O ponto procurado é $P'\left(-\dfrac{2}{5}\,,\;\dfrac{11}{5} \right ).$