Question

determine o ponto p,pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares ,quidistantes dos pontos A (1,2) e B (2,3)? alguém pode me ajudar

Answer 1

Vamos primeiro encontrar a reta $r$ mediatriz do segmento $AB.$

( todos os pontos equidistantes de $A$ e $B$ pertencem a esta reta mediatriz )

A reta mediatriz é perpendicular ao segmento $AB$ e passa pelo ponto médio deste segmento. A equação é obtida a seguir:

$r:~y-\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}=\dfrac{x_{_{A}}-x_{_{B}}}{y_{_{B}}-y_{_{A}}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{1-2}{3-2}\cdot \left(x-\dfrac{1+2}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{5}{2}=\dfrac{-1}{1}\cdot \left(x-\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{5}{2}=-x+\dfrac{3}{2}\\\\\\ r:~y=-x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}\\\\\\ r:~y=-x+\dfrac{8}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\begin{array}{c}r:~y=-x+4 \end{array} \end{array}}$

( equação reduzida da reta mediatriz )

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A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta cuja equação é

$\boxed{\begin{array}{c}s:~y=x \end{array}}$

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O ponto $P(x_{_{P}},\,y_{_{P}})$ pertence a $r$ e a $s$ simultaneamente. Logo, devemos ter

$\left\{ \!\begin{array}{lc} y_{_{P}}=-x_{_{P}}+4&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ y_{_{P}}=x_{_{P}}&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$

 
Substituindo $\mathbf{(ii)}$ em $\mathbf{(i)},$ temos

$x_{_{P}}=-x_{_{P}}+4\\\\ x_{_{P}}+x_{_{P}}=4\\\\ 2x_{_{P}}=4\\\\ x_{_{P}}=\dfrac{4}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_{_{P}}=2 \end{array}}$


Segue diretamente da equação $\mathbf{(ii)}$ que

$\boxed{\begin{array}{c}y_{_{P}}=2 \end{array}}$


Portanto, o ponto procurado é o ponto $P(2,\,2).$


Bons estudos! :-)