Question

Determine o ponto P no gráfico abaixo:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Betany, que a resolução é simples,embora apenas um pouquinho trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que a reta de gráfico verde passa nos pontos: (-1; 0) e (0; -2).
Vamos logo encontrar a equação da reta que passa nesses dois pontos.
Note que o coeficiente angular (m) de uma reta que passa em (x₀; y₀) e (x₁; y₁) é encontrado da seguinte forma:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o coeficiente angular (m) da reta de gráfico verde , que passa nos pontos (-1; 0) e (0; -2) terá o seu coeficiente angular encontrado assim:

m = (-2-0)/(0-(-1))
m = (-2)/(0+1)
m = (-2)/(1) -- ou apenas:
m = -2/1
m = - 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta de gráfico verde.

Agora vamos encontrar a sua equação. Note que quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um dos pontos por onde ela passa (digamos o ponto (x₀; y₀), a sua equação é encontrada assim:

y - y₀ = m*(x - x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta de gráfico verde, que passa nos dois pontos dados acima terá a seguinte equação. vamos escolher um dos pontos por onde a reta de gráfico verde passa.  Vamos escolher o ponto (-1; 0):

y - 0 = -2*(x -(-1))
y = -2*(x+1) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
y = - 2x - 2 <--- Esta é a equação reduzida da reta de gráfico verde.

ii) Agora vamos para a equação da reta de gráfico vermelho. Note que esta reta passa nos pontos: (-3; 0) e (0; 2).
Vamos encontrar o seu coeficiente angular (m). Note que o raciocínio será o mesmo que utilizamos na questão anterior:

m = (2-0)/(0-(-3))
m = (2)/(0+3)
m = (2)/(3)
m = 2/3 <---Este é o coeficiente angular da reta de gráfico vermelho.

Agora vamos encontrar a equação da reta de gráfico vermelho. Utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, teremos (vamos escolher o ponto (-3; 0):

y - 0 = (2/3)*(x-(-3))
y = (2/3)*(x+3) ---- veja que poderemos reescrever assim, o que é a mesma coisa:

y = 2*(x+3)/3 ---- efetuando o produto indicado, teremos;
y = (2x+6)/3  <---- Esta é a equação reduzida da reta de gráfico vermelho.

iii) Agora vamos para o que está sendo pedido, que são as coordenadas do ponto P(x; y).
Note: para isso, deveremos igualar as duas equações, pois quando duas retas se encontram elas, nesse instante, serão iguais.
Veja que as duas retas têm as seguintes equações reduzidas:

- reta de gráfico verde: y = - 2x - 2
- reta de gráfico vermelho: y = (2x+6)/3

Vamos igualá-las, ficando:

- 2x - 2 = (2x+6)/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*(-2x-2) = 2x+6 ---- efetuando o produto no 1º membro, temos:
-6x-6 = 2x+6 ---- passando "-6x" para o 2º membro e "6" para o 1º, ficaremos:
-6-6 = 2x+6x
-12 = 8x ---- vamos apenas inverter, ficando:
8x = - 12
x = -12/8 ---- simplificando-se tudo por "4", ficaremos com:
x = -3/2 <--- Esta é a abscissa "x" do ponto P(x; y).

Agora vamos encontrar a ordenada "y". Para isso, iremos em uma das equações dadas e, no lugar de "x" poremos "-3/2". Vamos na expressão que dá a equação da reta de gráfico verde, que é esta:

y = - 2x - 2 ---- substituindo-se "x" por "-3/2", teremos:
y = -2*(-3/2) - 2
y = 6/2 - 2
y = 3 - 2
y = 1 <--- Esta é a ordenada "y" do ponto P(x; y).

iv) Assim, o ponto P(x; y) será este, após substituirmos o "x" por "-3/2" e o "y" por "1":

P(-3/2; 1) <--- Esta é a resposta. Este é o ponto P com suas coordenadas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.