Question

Determine o Ponto P localizado sobre a bissetriz dos quadrantes
impares, que é equidistante do ponto A (2,6) e B (5,-1).

Answer 1

A bissetriz dos quadrantes ímpares é uma reta que passa na origem ( x =0 e y = 0 ) e tem inclinação de 45º, logo o coeficiente angular será :

$\text m = \text{Tg}(45^{\circ}) = 1$

Portanto a equação da reta dos quadrantes ímpares que contém P é igual a :

$\boxed{{\text y = \text x }}$

O Ponto P(x,y) é equidistante do ponto A(2,6) e de B(5,-1). Então fazendo distância entre dois pontos temos :

$\sqrt{(\text x-2)^2+(\text y-6)^2 } = \sqrt{(\text x - 5)^2 +(\text y + 1)^2}$

Elevando ao quadrado dos dois lados :

$(\text x-2)^2+(\text y-6)^2 = (\text x - 5)^2 +(\text y + 1)^2$

Sabemos que P passa na reta y = x, logo vamos substituir o y por x na equação :

$(\text x-2)^2+(\text x-6)^2 = (\text x - 5)^2 +(\text x + 1)^2$

$\text x^2-4\text x + 4 +\text x^2-12\text x+36 = \text x^2-10\text x +25 +\text x^2 +2\text x+ 1$

$2\text x^2-16\text x +40 = 2\text x^2-8\text x +26$

$40 - 26 = 16\text x - 8\text x$

$8\text x = 14 \to \boxed{\text x= \frac{7}{4}}$

Logo : $\displaystyle \boxed{\text y = \frac{7}{4}}$

Portanto :

$\huge\boxed{\text P(\ \frac{7}{4}\ ,\ \frac{7}{4}\ ) } \checkmark$