Question

Determine o ponto P de Intersecção das diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD, sabendo-se que A(0,0),B(4,1),C(7,7) e D(-1,6)
preciso dos cálculos certos deseja agradeço

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernanda, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o ponto P(x; y) que é o ponto de intersecção das diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD, sabendo-se que cada vértice desse quadrilátero tem as seguintes coordenadas:

A(0; 0), B(4; 1), C(7, 7) e D(-1; 6)

ii) Para encontrarmos o ponto P(x; y) vamos ter, primeiro que encontrar as equações das retas do segmento AC e do segmento BD. Assim, teermos:

ii.1) Encontrando o coeficiente angular (m) do segmento de reta AC, com A(0; 0) e C(7; 7). Aplicando a fórmula do coeficiente angular (m) de uma reta que passa em dois pontos A(xa; ya) e B(xb; yb), teremos:

m = (yb-ya)/(xb-xa) . (I).

Tendo, portanto, a relação (I) acima como parâmetro, então o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A(0; 0) e B(7; 7) será dado assim:

m = (7-0)/(7-0) ---> m = (7)/(7) ---> m = 1 <--- Este é o coeficiente angular do segmento de reta AC.

Agora vamos encontrar a equação reduzida dessa reta. Note que quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (xa; ya), a sua equação é encontrada pela seguinte fórmula:

y - ya = m*(x - xa) . (II)

Logo, tendo a relação (II) acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular (m) igual a "1" e que passa em um dos pontos dados (vamos escolher o ponto A(0; 0)), terá a seguinte equação reduzida:

y - 0 = 1*(x - 0) ----> y = 1*x ---> y = x <--- Esta é a equação reduzida da reta que passa nos pontos A(0; 0) e C(7; 7)

ii.2) Agora vamos encontrar o coeficiente angular do segmento de reta BD, com B(4; 1) e C(-1; 6) ---- utilizando-se a fórmula para encontrar o coeficiente angular (m) de uma reta que passa em dois pontos (conforme já vimos na questão anterior),teremos:

m = (6-1)/(-1-4) ---> m = (5)/(-5) ---> m = -1 <--- Este é o coeficiente angular do segmento de reta que passa nos pontos B(4; 1) e D(-1; 6).

Agora vamos para a equação reduzida da reta que passa nesses dois pontos. Para isso, empregaremos a fórmula já vista no item anterior, que é quando já se conhece o coeficiente angular (m = -1) e apenas um dos pontos dados (vamos escolher o ponto B(4; 1)):

y - 1 = -1*(x - 4) ----> y - 1 = - x + 4 ---> y = -x + 4 + 1 ---> y = -x + 5 <---- Esta é a equação reduzida do segmento de reta que passa nos pontos B(4; 1) e D(-1; 6).

iii) Finalmente, agora vamos encontrar o ponto de intersecção entre essas duas retas. Como já temos a equação delas duas que são estas:

y = x ----- é a equação reduzida da reta que passa nos pontos A(0; 0) e C(7; 7).

e

y = -x + 5 ---- é a equação reduzida da reta que passa nos pontos B(4; 1) e D(-1; 6).

Note que, no ponto de intersecção, elas duas são iguais. Então vamos igualá-las, ficando assim:

x = -x + 5 ----- passando "-x" para o 2º membro, teremos:

x + x = 5

2x = 5

x = 5/2 <--- Este é o valor da abscissa "x" do ponto de encontro das duas diagonais.

Agora, para encontrar o valor da ordenada "y" basta irmos em quaisquer uma das duas equações reduzidas e, em quaisquer uma delas, substituamos o "x" por "5/2". Vamos na equação da reta que passa nos segmentos A e C, que é esta:

y = x ----- substituindo-se "x" por "5/2", teremos:

y = 5/2 <--- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro das duas diagonais.

iv) Logo, resumindo, temos que o ponto P(x; y), que é o ponto de encontro das duas diagonais, terá as seguintes coordenadas:

P(5/2; 5/2) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.