Question

determine o ponto p,da bissetriz dos quadrantes pares,que equidista dos pontos A(0,1) e B(-2,3).

Answer 1

Se o ponto $P$ pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então este ponto pertence à reta

$y=-x$

Logo, a abscissa de $P$ é igual ao oposto da ordenada de $P$ e podemos representar as coordenadas do ponto $P$ desta forma:

$P\left(a,\,-a\right)$

Se o ponto $P$ é equidistante dos pontos $A\left(0,\,1 \right )$ e $B\left(-2,\,3 \right )$, então a distância de $P$ até $A$ é igual à distância de $P$ até $B$:

$d_{_{PA}}=d_{_{PB}}\\ \\ \sqrt{\left(x_{_{A}}-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(y_{_{A}}-y_{_{P}} \right )^{2}}=\sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{P}} \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(0-a \right )^{2}+\left(1-\left(-a \right ) \right )^{2}}=\sqrt{\left(-2-a \right )^{2}+\left(3-\left(-a \right ) \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(-a \right )^{2}+\left(1+a \right )^{2}}=\sqrt{\left(-2-a \right )^{2}+\left(3+a \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{a^{2}+\left(1+2a+a^{2} \right )}=\sqrt{\left(4+4a+a^{2} \right )+\left(9+6a+a^{2} \right )}\\ \\ \sqrt{2a^{2}+2a+1}=\sqrt{2a^{2}+10a+13}\\ \\ \left(\sqrt{2a^{2}+2a+1} \right )^{2}=\left(\sqrt{2a^{2}+10a+13} \right )^{2}\\ \\ 2a^{2}+2a+1=2a^{2}+10a+13\\ \\ 2a^{2}-2a^{2}+2a-10a=13-1\\ \\ -8a=12\\ \\ a=\dfrac{12}{-8}\\ \\ a=-\dfrac{3}{2}$


O ponto procurado é o ponto $P\left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{3}{2} \right )$.