Question

Determine o ponto de sela da função f(x, y) = x4 + y4 - 4xy + 1.




A função não tem ponto de sela.


(-1, 1)


(-1, -1)


(1, 1)


(1, -1)

Answer 1

Temos que f(x,y) = x⁴ + y⁴ - 4xy + 1.

Primeiramente, vamos derivar f(x,y) em função de x e de y:

$f_x(x,y)=4x^3-4y$
$f_y(x,y)=4y^3-4x$

Agora, temos que igualar as derivadas acima a 0:

4x³ - 4y = 0
x³ = y

4y³ - 4x = 0
y³ = x

Temos como solução os pontos (0,0), (-1,-1) e (1,1)

Calculando as seguintes derivadas:

$f_{xx}(x,y)=12x^2$
$f_{yy}(x,y)=12y^2$
$f_{xy}(x,y)=-4$

Assim, calculando a hessiana da função f:

$H(x,y)=f_{xx}(x,y).f_{yy}(x,y)-(f_{xy}(x,y))^2$
H(x,y) = 12x².12y² - 16
H(x,y) = 144x²y² - 16

Agora, testaremos os três pontos encontrados inicialmente:

(0,0) 

H(0,0) = -16 < 0

Como H(0,0) < 0, então o ponto (0,0) é ponto de sela.

(1,1)

H(1,1) = 128 > 0
$f_{xx}(1,1)=12\ \textgreater \ 0$

Logo, (1,1) é ponto de mínimo.

(-1,-1)

H(-1,-1) = 128 > 0
$f_{xx}(-1,-1) = 12 \ \textgreater \ 0$

Logo, (-1,-1) é ponto de mínimo.