Question

Determine o ponto de intersecção das retas perpendiculares as retas de equações são ,respectivamente:
A) x-y+3=0 e x+2y-12=0
B) 2x+3y-5=0 e 3x+y-4=0
C) 5x-4y-26=0 e 13x-3y-38=0

Answer 1

O ponto de intersecção entre duas retas perpendiculares é dado pelo ponto comum as duas retas, ponto esse que é possível achar resolvendo o sistema formado pelas duas retas.

A)

$\left \{ {{x-y+3=0} \atop {x+2y-12=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x-y+3=0 * (-1)} \atop {x+2y-12=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{-x+y-3=0} \atop {x+2y-12=0}} \right. \Rightarrow Soma \ esse \ sistema \downarrow \\\\ +\underline{\left \{ {{-x+y-3=0} \atop {x+2y-12=0}} \right.} \\ 3y-15=0 \\ 3y = 15 \\ y = \frac{15}{3} \\ \boxed{y = 5} \\\\ x+2y-12=0 \\ x +2*5-12 = 0 \\ x +10-12=0 \\ x -2=0 \\ \boxed{x = 2} \\\\ \boxed{P(2, \ 5)}$

B)

$\left \{ {{2x+3y-5=0} \atop {3x+y-4=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x+3y-5=0} \atop {(3x+y-4=0)*(-3)}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x+3y-5=0} \atop {-9x-3y+12=0}} \right. \Rightarrow Soma \ esse \ sistema \downarrow \\\\ +\underline{\left \{ {{2x+3y-5=0} \atop {-9x-3y+12=0}} \right.} \\ -7x+7=0 \\ -7x=-7 \\ 7x = 7 \\ x = \frac{7}{7} \\ \boxed{x = 1} \\\\ 2x+3y-5=0 \\ 2*1+3y-5=0 \\ 2+3y-5=0 \\ 3y-3=0 \\ 3y = 3 \\ y = \frac{3}{3} \\ \boxed{y = 1} \\\\ \boxed{C(1, \ 1)}$

C)

$\left \{ {{5x-4y-26=0} \atop {13x-3y-38=0}} \right. \\\\13x-3y-38=0 \\ 13x = 3y+38 \\ x = \frac{3y+38}{13} \\ \boxed{x = \frac{3}{13}y+\frac{38}{13}} \\\\ 5x-4y-26=0 \\ 5*(\frac{3}{13}y+\frac{38}{13})-4y-26=0 \\ \frac{15}{13}y+\frac{190}{13}-4y-26=0 \\ \frac{15}{13}y-4y+\frac{190}{13}-26=0 \\ -\frac{37}{13}y-\frac{148}{13}=0 \\ -37y-148=0 \\ -37y = 148 \\ 37y=-148 \\ y = -\frac{148}{37} \\ \boxed{y = -4}$

$x = \frac{3}{13}y+\frac{38}{13} \\ x = \frac{3}{13}*(-4)+\frac{38}{13} \\ x = -\frac{12}{13}+\frac{38}{13} \\ x = \frac{26}{13} \\ \boxed{x = 2} \\\\ \boxed{F(2, \ -4)}$

As letras dentro da caixa no final são os pontos de intersecção.