Question

Determine o ponto da reta 2x − 4y = 3 que está mais próximo da origem.? me ajudeeem por favor!

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto "P" procurado é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P\bigg(\frac{3}{10},-\frac{3}{5}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo o ponto "P" pertencente a reta "r", cuja distância à origem é menor possível.

Sejam os dados:

                  $\Large\begin{cases} r: 2x - 4y = 3\\O = (0, 0)\\P = \:?\end{cases}$

Para resolver esta questão irei utilizar o método chamada de "Multiplicadores de Lagrange". Este método  consiste em obter máximos e mínimos condicionados. Para implementar este método devemos designar a função objetivo e a função condicionante e, em seguida, afirmar que o vetor gradiente da função objetivo é paralelo ao vetor gradiente da função condicionante. Para isso, fazemos:

• Determinar a função objetivo. Esta função se refere à mínima distância entre os pontos "O" e "P" que podemos deduzi-la da seguinte forma:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{OP} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{OP}^{2} = (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (x_{P} - x_{O})^{2} + (y_{P} - y_{O})^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = x^{2} + y^{2}\end{gathered}$

        Então, a função objetivo é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} F(x, y) = d_{OP}^{2} = x^{2} + y^{2}\end{gathered}$            

• Determinar a função condicionante. Uma vez que o ponto "P" pertence à reta, então a tal reta é o vínculo. Então temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 4y = 3\end{gathered}$  

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 4y - 3 = 0\end{gathered}$      

        Então, a função condicionante é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x, y) = 2x - 4y - 3 = 0\end{gathered}$

• Aplicando os multiplicadores de Lagrange.

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}F(x, y) = \lambda\vec{\nabla}g(x, y)\end{gathered}$      

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \langle F_{x}(x, y),\,F_{y}(x, y)\rangle = \lambda\langle g_{x}(x, y),\,g_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$  

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (2x,2y) = \lambda(2,-4)\end{gathered}$        

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (2x, 2y) = (2\lambda, -4\lambda)\end{gathered}$    

      Montando o sistema de equações, temos:

                                           $\Large\begin{cases} 2x = 2\lambda\\2y = -4\lambda\end{cases}$      

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\begin{cases} x = \lambda\\y = -2\lambda\end{cases}$        

• Calcular o valor de "λ". Para isso, devemos inserir os valores de "x" e "y" na função condicionante. Então temos:      

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot\lambda - 4\cdot(-2\lambda) - 3 = 0\end{gathered}$  

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\lambda + 8\lambda - 3 = 0\end{gathered}$        

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\lambda + 8\lambda = 3\end{gathered}$      

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10\lambda = 3\end{gathered}$

                                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda = \frac{3}{10}\end{gathered}$

• Obter o ponto "P". Para isso, basta inserir o valor de "λ" no sistema "I". Então temos:    

                      $\LARGE\begin{cases} x = \frac{3}{10}\\y = -2\cdot\frac{3}{10} = -\frac{3}{5}\end{cases}$      

✅ Portanto, o ponto "P" é:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} P \bigg(\frac{3}{10},\,-\frac{3}{5}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$