Question

Determine o polinômio p(x)= mx³-2x²+nx-1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e que p(-2)=21

Answer 1

Determine o polinômio p(x)= mx³-2x²+nx-1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e que p(-2)=21
p(-2) = m(-2)³ - 2(-2)² + n(-2) - 1 = 21
-8m - 8 - 2n - 1 = 21
4m + n = -15 (equação 1)

p(1) = m(1)³ - 2(1)² + n(1) - 1 = 0
m + n = 3 (equação 2)

Fazendo eq.1 - eq.2
3m + 0 = -18 ==> m = -6 substituindo da eq.2
-6 + n = 3 ==> n = 9
substituindo m e n em p(x), fica

p(x) -6x³ - 2x² + 9x - 1 (resp)

Answer 2

A raiz de p(x) é 1, ou seja, x = 1, então p(1) = m.1³ - 2.1² + n.1 - 1
Então, p(1) = m - 2 +n - 1   p(1)  =  m + n - 3   (I)
E,   p(-2) = 21    (-2)³m - 2(-2)² + (-2)n - 1 = 21   -8m - 8 - 2n -1 = 21
                                         p(-2) = - 8m - 9 - 2n = 21  p(-2) = -8m - 2n = 30
                                         p(-2) = - 4m - n = 15  (II) 
Más, se 1 é raiz do polinômio p(x), então,  p(1) = 0; ou seja, m + n - 3 = 0  (I)
Substituindo a equação (II) em (I), temos: de (I) vem  n = 3 - m; em (II) fica:
-4m - (3 - m) = 15    -4m -3 + m = 15    -3m = 18   m = - 6   e  n = 3 - (- 6)  
 n = 9    Então, o polinômio pedido é:  p(x) = - 6x³ - 2x² + 9x - 1