Question

determine o polinômio P(x) do 2 grau sabendo que P(-1)=12 P(0)= 6 e 2 e um raiz

Answer 1

Vou assumir inicialmente que você sabe que podemos representar qualquer polinômio de grau 2 da forma $a(x-x')(x-x'')$ onde x' é uma raiz e x'' a outra raiz.
Agora, como sabemos o valor de uma raiz, podemos expandir isso e depois jogar o valor que temos para a função em um dado x. Segue-se que:
$a(x-x')(x-x'') = f(x)$
$(ax-ax')(x-x'') = f(x)$
$ax^2 -axx'' -axx' + ax'x'' = f(x)$
Como sabemos do enunciado que uma raiz x' = 2 e o valor do polinômio em x = 0 é 6, vamos simplificar nosso polinômio genérico e ver o que sobra:

$a0^2 -a0x'' -a0*2 +a2x'' = f(0) = 6$
$2ax'' = 6$
$a = \frac{3}{x''}$
Agora, para achar o coeficiente $a$, só precisamos achar a outra raiz e nosso problema estará concluído. Para isso, vamos voltar a forma genérica do nosso polinômio, substituir todos os valores que conhecemos, mas agora com uma informação nova, que em x = -1, nosso polinômio tem valor 12:
$ax^2 -axx'' -axx' + ax'x'' = f(x)$
$\frac{3}{x''} x^2 - \frac{3}{x''} xx'' - \frac{3}{x''} xx' + \frac{3}{x''} x'x'' = f(x)$
$\frac{3}{x''} x^2 - 3x - \frac{6}{x''} x + 6 = f(x)$
Já que x' = 2 e os termos com x'' em cima e embaixo cancelam-se.
$\frac{3}{x''} (-1)^2 - 3(-1) - \frac{6}{x''} (-1) + 6 = f(-1) = 12$
Resolvendo isso, ficamos com:
$\frac{3}{x''} +3 +\frac{6}{x''} + 6 = 12$
$\frac{9}{x''} = 3$
$x'' = 3$
Sabemos da nossa demonstração para o polinômio pedido no enunciado que $a =  \frac{3}{x''}$ e portanto, $a = 1$. Pronto! Agora basta escrever o polinômio da forma convencional:
$a(x - x')(x-x'') = f(x)$
$1(x-2)(x-3) = f(x)$
$x^2 -3x -2x +6 = f(x)$
Portanto, nosso polinômio é:
$f(x) = x^2 -5x + 6$