Question

Determine o polinômio f(x) de grau 3 tal que f(2) = f(1) = f(-1) = 0 e f(3) = 12

Answer 1

Vamos lá:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Esta é a fórmula da função do 3° grau.

f(2) = f(1) = f(-1) = 0
f(3) = 12

$f(2) = a.2^3 + b.2^2 + c.2 + d \\\\ f(2) = 8a + 4b + 2c + d \\\\ \fbox{8a + 4b + 2c + d = 0} \\\\ f(1) = a.1^3 + b.1^2 + c.1 + d \\\\ f(1) = a + b + c + d \\\\ \fbox{a + b + c + d = 0} \\\\ f(-1) = a.(-1)^3 + b.(-1)^2 + c.(-1) + d \\\\ f(-1) = - a + b - c + d \\\\ \fbox{-a + b - c + d = 0} \\\\ f(3) = a.(3)^3 + b.3^2 + c.3 + d \\\\ f(3) = 27a + 9b + 3c + d \\\\ \fbox{27a + 9b + 3c + d = 12}$

Colocando essas equações destacadas em um sistema:

$8a + 4b + 2c + d = 0 \\ a + b + c + d = 0 \\ - a + b - c + d = 0 \\ 27a + 9b + 3c + d = 12$

Utilizando a equação 3, temos:

$- a + b - c + d = 0 \\\\ - a = - b + c - d \\\\ a = b - c + d$

Substituindo a equação encontrada na equação 2, temos:

$a + b + c + d = 0 \\\\ b - c + d + b + c + d = 0 \\\\ 2b + 2d = 0 \\\\ b + d = 0 \\\\ d = - b$

Substituindo d por - b na equação a = b - c + d, temos:

$a = b - c + d \\\\ a = b - c - b \\\\ a = - c$

Substituindo a por - c e d por - b na equação 1, temos:

$8a + 4b + 2c + d = 0 \\\\ - 8c + 4b + 2c - b = 0 \\\\ - 6c + 3b = 0 \\\\ - 6c = - 3b \\\\ 6c = 3b \\\\ c = \frac{3b}{6} \\\\ c = \frac{b}{2}$

Então:

$a = - c \\\\ a = - \frac{b}{2}$

Agora, a equação 4:

$27a + 9b + 3c + d = 12 \\\\ 27.(- \frac{b}{2}) + 9b + 3.\frac{b}{2} - b = 12 \\\\ - \frac{27b}{2} + 9b + \frac{3c}{2} - b = 12 \\\\ - \frac{24b}{2} + 8b = 12 \\\\ - 12b + 8b = 12 \\\\ - 4b = 12 \\\\ 4b = - 12 \\\\ b = - \frac{12}{4} \\\\ \fbox{b = - 3}$

Portanto:

$a = - c \\\\ a = - \frac{- 3}{2} \\\\ a = \frac{3}{2} \\\\ b = - 3 \\\\ c = - \frac{3}{2} \\\\ d = - (- 3) = 3$

A equação que procuras é:

$f(x) = \frac{3}{2}x^3 - 3x^2 - \frac{3}{2}x + 3$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução da questão também é simples, porém um pouco trabalhosa, pois agora o polinômio é do 3º grau.
Mas como já fizemos tudo passo a passo a sua questão, na sua outra mensagem, pra encontrar o polinômio do 2º grau, então vamos tentar fazer esta questão de forma mais simples, pois você já deverá saber cada passagem pela nossa resposta na sua outra mensagem, certo?
Então vamos ver.

i) Determinar o polinômio f(x), de grau "3", tal que: f(2) = f(1) = f(-1) = 0 e f(3) = 12. Assim, teremos isto, considerando que o polinômio de grau "3" será da forma f(x) = ax³ + bx² + cx + d::

i.a) Encontrando f(2) = 0. Assim:

0 = a*2³ + b*2² + c*2 + d
0 = a*8 + b*4 + c*2 + d
0 = 8a + 4b + 2c + d --- ou apenas:
8a + 4b + 2c + d = 0       . (I)

i.b) Encontrando f(1) = 0 . Assim:

0 = a*1³ + b*1² + c*1 + d
0 = a*1 + b*1 + c*1 + d
0 = a + b + c + d --- ou apenas:
a + b + c + d = 0      ,. (II)

i.c) Encontrando f(-1) = 0. Assim:

0 = a*(-1)³ + b*(-1)² + c*(-1) + d
0 = a*(-1) + b*1 + c*(-1) + d
0 = - a + b - c + d --- ou apenas:
- a + b - c + d = 0        . (III)

i.d) Encontrando f(3) = 12 . Assim:

12 = a*3³ + b*3² + c*3 + d
12 = a*27 + b*9 + c*3 + d
12 = 27a + 9b + 3c + d --- ou apenas:
27a + 9b + 3c + d = 12     . (IV).

ii) Agora veja que ficamos com o sistema formado pelas expressões (I), (II), (III) e (IV) e que são estas:

8a + 4b + 2c + d = 0       . (I)
a + b + c + d = 0            . (II)
- a + b - c + d = 0          . (III)
27a + 9b + 3c + d = 12     . (IV)

ii.a) Somaremos, membro a membro, as expressões (II) e (III), ficando:

a + b + c + d = 0 --- [esta é a expressão (II) normal]
-a+b - c + d = 0 ---- [esta é a expressão (III) normal]
------------------------- somando membro a membro, temos;
0+2b+0+2d = 0 --- ou apenas:
2b + 2d = 0 ---- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "2", com o que ficaremos:

b + d = 0
b = - d         . (V)

ii.b) Agora faremos o seguinte: como vimos acima, que b = - d, então substituiremos, na expressão (II), o valor de "b" por "-d" e veremos ao que chegaremos. A expressão (II) é esta:

a + b + c + d = 0  --- substituindo-se "b" por "-d", temos:
a - d + c + d = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
a + c = 0  
a = - c       . (VI) 
 
ii.c) Agora faremos o seguinte: iremos na expressão (I) e na expressão (IV) e já sabendo que b = - d ; e que a = - c, então, em cada uma das expressões acima faremos esta substituição. A expressão (I) é esta:

8a + 4b + 2c + d = 0 ----- substituindo-se "a" por "-c" e "b" por "-d", teremos:
8*(-c)+4*(-d) + 2c + d = 0
- 8c - 4d + 2c + d = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
- 6c - 3d = 0 ---- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "-3", com o que ficaremos:

2c + d = 0      . (VII)

E a expressão (IV) é esta:

27a + 9b + 3c + d = 12  ---- substituindo-se "a' por "-c" e "b" por "-d", teremos:
27*(-c) + 9*(-d) + 3c + d = 12
- 27c - 9d + 3c + d = 12 ----- reduzindo os termos semelhantes:
- 24c - 8d = 12 --- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "-4", ficando assim:

6c + 2d = - 3     .(VIII)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (VII) e (VIII) e que são estas:

2c + d = 0      . (VII)
6c + 2d = - 3     .(VIII)

Vamos multiplicar a expressão (VII) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (VIII). Logo:

-4c - 2d = 0 --- [esta é a expressão (VII) multiplicada por "-2"]
6c + 2d = -3 --- [esta é a expressão (VIII) normal]
---------------------- somando membro a membro, teremos;
2c + 0 = - 3 --- ou:
2c = - 3
c = -3/2.

Agora, para encontrar o valor do termo "d" vamos na expressão (VII), que é esta:

2c + d = 0 ---- substituindo-se "c" por "-3/2", teremos:
2*(-3/2) + d = 0
-6/2 + d = 0
-3 + d = 0
d = 3 <--- Este é o valor do termo "d".

iv) Agora veja: já temos que: b = -d (conforme a expressão V); e a = -c (conforme a expressão VI). Ou seja, já temos que:

b = - d ---- substituindo-se "d" por "3" (conforme encontramos acima), temos:
b = - 3 <--- Este é o valor do termo "b".
e
a = - c ---- substituindo-se "c" por "-3/2", conforme vimos antes, teremos:
a = -(-3/2)
a = 3/2 <--- Este é o valor do termo "a".

v) Assim, o polinômio do 3º grau, da forma, f(x) = ax³+bx²+cx+d será este, após fazermos as devidas substituições:

f(x) = 3x³/2 + (-3)x² + (-3/2)x + 3 --- ou apenas:
f(x) = 3x³/2 - 3x² - 3x/2 + 3 <--- Esta é a resposta. Este é o polinômio do 3º grau pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.