Question

Determine o polinômio de grau 4 com coeficiente líder igual a 3 e raízes 1, -1, 2 e 3

Answer 1

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⠀⠀☞ f(x) = 3x⁴ - 15x³ + 15x² + 15x - 18 é o polinômio de grau 4, coeficiente líder igual a 3, e raízes -1, 1, 2 e 3. ✅

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⠀⠀Inicialmente lembremos que as funções polinomiais de grau n podem ser reescritas em termos de suas raízes Xi da forma:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf f(x) = a \cdot \displaystyle\prod^n (x - X_i)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Um polinômio de grau 4, portanto, pode ser escrito da seguinte forma:

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$\large\gray{\boxed{\sf\blue{~~f(x) = a \cdot (x - X_1) \cdot (x - X_2) \cdot (x - X_3) \cdot (x - X_4)~~}}}$

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⠀⠀Com as raízes dadas no enunciado teremos então:

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$\blue{\sf f(x) = 3 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)}$

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$\blue{\sf = 3 \cdot (x^2 + x - x - 1) \cdot (x^2 - 3x - 2x + 6)}$

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$\Large\blue{\sf = 3 \cdot (x^2 - 1) \cdot (x^2 - 5x + 6)}$

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$\blue{\sf = 3 \cdot (x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^2 + 5x - 6)}$

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$\Large\blue{\sf = 3 \cdot (x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6)}$

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$\Large\blue{\sf = 3x^4 - 15x^3 + 15x^2 + 15x - 18}$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{f(x)}~\pink{=}~\blue{ 3x^4 - 15x^3 + 15x^2 + 15x - 18 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre raízes de funções polinomiais:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38050263

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$