Question

Determine o polinômio correspondente ao quociente q e ao resto r da divisão do polinômio p por h:

a) p(x)= x6-3x5+5x3-10x2; h(x)=x3+5

Answer 1

Olá.

Temos a expressão:

$\mathsf{\dfrac{p(x)}{h(x)}=\dfrac{x^6-3x^5+5x^3-10x^2}{x^3+5}}$

Para resolver essa expressão, usarei uma metodologia semelhante ao método de chaves.

Uma pergunta que sempre devemos fazer é: "Quanto temos que multiplicar x³ + 5 para que se divida o primeiro termo disponível?"

No caso, o primeiro termo é x⁶. Para que o binômio (x³ + 5) chegue nesse valor, temos que multiplicá-lo por x³. x³ será o primeiro termo do quociente. Teremos:

$\mathsf{(x^6-3x^5+5x^3-10x^2)-(x^3+5)x^3=}\\\\\mathsf{(x^6-3x^5+5x^3-10x^2)-(x^6+5x^3)=}\\\\\mathsf{x^6-3x^5+5x^3-10x^2-x^6-5x^3=}\\\\\mathsf{x^6-x^6-3x^5+5x^3-5x^3-10x^2=}\\\\\mathsf{-3x^5-10x^2}$

Agora, temos que dividir -3x⁵ - 10x². O binômio teria de ser multiplicado por -3x² para poder dividir o -3x⁵. -3x² será a outra parte do quociente. Teremos:

$\mathsf{(-3x^5-10x^2)-(x^3+5)(-3x^2)=}\\\\\mathsf{(-3x^5-10x^2)-(-3x^5-15x^2)=}\\\\\mathsf{-3x^5-10x^2+3x^5+15x^2=}\\\\\mathsf{-3x^5+3x^5-10x^2+15x^2=}\\\\\mathsf{5x^2}$

Não é possível que o monômio divida 5x², logo, será o resto. Com isso, temos:

Quociente: x³ - 3x²
Resto: 5x²

Vamos testar? 
Para o teste, vamos multiplicar o quociente pelo monômio que dividimos, logo depois somando o resto. Se o resultado final for igual a p(x), temos que os valores que conseguimos são verdadeiros. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{p(x)=(x^3+5)(x^3-3x^2)+5x^2}\\\\\mathsf{p(x)=(x^6-3x^5+5x^3-15x^2)+5x^2}\\\\\mathsf{p(x)=x^6-3x^5+5x^3-15x^2+5x^2}\\\\\mathsf{p(x)=x^6-3x^5+5x^3-10x^2~\checkmark}$

Testado e aprovado.

Resultado final:

$\boxed{\mathsf{q=x^3-3x^2~|~r=5x^2}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários. 
Bons estudos.