Question

DeTermine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número diagonais multiplicado por 180

Answer 1

$si = (n - 2) \times {180}^{o} \\ d = \frac{n(n - 3)}{2}$

O que a questão pede:

$(n - 2) \times {180}^{o} = \frac{n(n - 3)}{2} \times {180}^{o}$

Podemos cortar o 180 e fazer o produto dos meios pelos extremos (conhecido como cruz-credo):

$2(n - 2) = n(n - 3) \\ 2n - 4 = {n}^{2} - 3n \\ {n}^{2} - 5n + 4 = 0$

Entramos em uma equação do segundo grau, então basta executar a fórmula do discriminante e a de resolução (ou de Bhaskara) e descobrir as raízes:

${( - 5)}^{2} - 4 \times 1 \times 4 \\ 25 - 16 = 9$
$\frac{5 + - \sqrt{9} }{2} \\ \frac{5 + - 3}{2} \\ x1 = 4 \\ x2 = 1$

Não existe polígono com apenas um lado, portanto, a segunda raiz (o valor de x2) não convém.

Restou o valor 4, que corresponde aos quadriláteros. A questão pede o polígono convexo - aquele que possui o tamanho dos lados e valor dos ângulos congruentes (iguais) -, o polígono convexo dos quadriláteros chama-se QUADRADO.